Resumen de Cambio de Variables en Integrales Múltiples

## Introducción Este material cubre dos herramientas fundamentales de cálculo en varias variables: el **teorema del cambio de variables para integrales dobles** y las **coordenadas polares**. Aprenderás cuándo y cómo hacer cambios de variable para facilitar el cálculo de áreas y de integrales dobles, y cómo aplicar coordenadas polares para regiones circulares o radiales. > **Definición:** El teorema del cambio de variables permite transformar una integral doble sobre una región complicada en otra integral sobre una región más simple mediante un difeomorfismo $F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ y el Jacobiano $\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$. ## 1. Cambio de variables: idea y fórmula ### Concepto clave - Cuando hacemos un cambio de variable en una integral doble reemplazamos $x,y$ por funciones de nuevas variables $u,v$ y multiplicamos por el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana, que corrige la distorsión de áreas. > **Definición:** El **Jacobiano** de $F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ es $$\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.$$ ### Teorema (Cambio de variable para integrales dobles) Si $F:D^{\ast}\to D$ es un difeomorfismo de clase $C^1$ y $f$ es integrable en $D$, entonces $$\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D^{\ast}} f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.$$ ### Paso a paso para aplicar el cambio 1. Identificar una transformación $F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ que simplifique la región $D$. 2. Calcular el Jacobiano $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$. 3. Reescribir la función integrando en términos de $u,v$ usando $x(u,v),y(u,v)$. 4. Determinar la región $D^{\ast}$ en el plano $uv$. 5. Evaluar la integral doble en $D^{\ast}$ multiplicando por $\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$. ### Ejemplo práctico (esquema) Calcular $\iint_{D} (1+x+y)\,dA$ donde $D$ está limitada por las rectas $y-x=1$, $y-x=-1$, $y+x=1$, $y+x=2$. - Sugerencia de cambio: usar $u=y-x$, $v=y+x$; entonces $x=\frac{v-u}{2}$, $y=\frac{u+v}{2}$. - Jacobiano: calcular $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.$$ Tomamos valor absoluto $\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2}$. - Región en $uv$: $u\in[-1,1]$, $v\in[1,2]$. - Integrando: reescribir $1+x+y = 1 + \frac{v-u}{2} + \frac{u+v}{2} = 1 + v$ y evaluar $$\iint_{D^{\ast}} (1+v)\cdot \frac{1}{2}\,du\,dv$$ - Resolver la integral iterada sobre $u\in[-1,1]$, $v\in[1,2]$. (Detalles del cálculo quedan como ejercicio de práctica: sustituya y calcule integrales sencillas.) ## 2. Coordenadas polares ### Idea principal - Para regiones circulares o con simetría radial es conveniente usar coordenadas polares $(r,\theta)$ con $$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.$$ - El Jacobiano de la transformación polar es $r$, por lo que $dA = r\,dr\,d\theta$. > **Definición:** La transformación polar es $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ y su Jacobiano es $$\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r.$$ ### Uso práctico - Integrales sobre discos, sectores o regiones límite por curvas $x^2+y^2=$ constante se simplifican en polares. - Límites típicos: $r$ entre radios interno y externo, $\theta$ entre ángulos que describen el sector. ### Ejemplo 1 Calcular $\iint_{D} (x+y)\,dA$ donde $D$ es la región del primer cuadrante limitada por los círculos $x^2+y^2=1$ y $x^2+y^2=4$. - En polares, en el primer cuadrante $\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$ y $r\in[1,2]$. - Reescribir integrando: $x+y=r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta)$. - Integral: $$\iint_{D} (x+y)\,dA = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{1}^{2} r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta =