Cambio de Variables en Integrales: Guía Completa para Estudiantes
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Pregunta: ¿Cuál es la fórmula del cambio de variable para una integral de una variable cuando g:[c,d]→[a,b] es estrictamente creciente y diferenciable con g' co
Respuesta: ∫_a^b f(x) dx = ∫_c^d f(g(u)) g'(u) du.
Pregunta: En el cambio de variables para integrales dobles, ¿qué condiciones debe cumplir F:(u,v)↦(x(u,v),y(u,v)) para aplicar la fórmula de cambio de variable?
Respuesta: F debe ser un difeomorfismo de clase C^1 entre regiones elementales D* y D, con derivadas continuas y bijectiva (Jacobiano no nulo).
Pregunta: Escribe la fórmula del cambio de variable para una integral doble usando la aplicación F(u,v).
Respuesta: ∬_D f(x,y) dA = ∬_{D*} f(F(u,v)) |det(DF(u,v))| du dv = ∬_{D*} f(x(u,v),y(u,v)) ∂(x,y)/∂(u,v) du dv.
Pregunta: ¿Cómo se define el Jacobiano ∂(x,y)/∂(u,v) para la transformación F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))?
Respuesta: Es el determinante de la matriz de derivadas parciales: det [[∂x/∂u, ∂x/∂v],[∂y/∂u, ∂y/∂v]].
Pregunta: ¿Cómo se define la transformación de coordenadas polares T(r,θ) al plano cartesiano?
Respuesta: T(r,θ) = (x,y) = (r cosθ, r senθ).
Pregunta: ¿Cuál es el Jacobiano de la transformación polar (r,θ)↦(x,y)?
Respuesta: ∂(x,y)/∂(r,θ) = r.
Pregunta: ¿Qué rectángulo en (r,θ) corresponde al disco unitario x^2+y^2 ≤ 1 mediante la transformación polar?
Respuesta: D* = {(r,θ): 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Pregunta: ¿La transformación polar conserva áreas (es decir, A(D)=A(D*))?
Respuesta: No: la transformación polar no conserva el área; A(D) ≠ A(D*).
Pregunta: Da la integral doble que aparece como ejercicio para la región D limitada por las rectas y−x=1, −x=−1, y+x=1, y+x=2 y la función integrando.
Respuesta: Calcular ∬_D (1 + x + y) dA donde D está limitada por las rectas dadas.
Pregunta: Escribe el enunciado del segundo ejercicio propuesto en la sección de cambio de variables (curvas que delimitan D) y la integral a calcular.
Respuesta: D es la región limitada por las curvas xy=1, xy=2, y=x^2, y=3x. Calcular ∬_D x^2 y^2 dA.