Resumen de Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales

## Introducción El cálculo integral y las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales para modelar y resolver problemas que involucran tasas de cambio y acumulación. En esta guía encontrarás conceptos clave, técnicas de integración, resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y ejemplos aplicados para estudiar de forma autónoma. > Definición: El **integral indefinido** de una función $f(x)$ es el conjunto de funciones $F(x)+C$ tales que $F'(x)=f(x)$. Se escribe $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C$. > Definición: Una **ecuación diferencial ordinaria (EDO)** relaciona una función desconocida con sus derivadas. Resolver una EDO consiste en encontrar la función que satisface esa relación. ## Técnicas básicas de antiderivación ### 1. Reglas elementales - Linealidad: $\displaystyle \int \bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\!\int f(x)\,dx + b\!\int g(x)\,dx$. - Potencias: $\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, para $n\neq -1$. - Exponenciales: $\displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x}+C$. - Trigonométricas: $\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C$. > Ejemplo: Si $f(x)=x^{2}+\pi$, entonces $$\int \bigl(x^{2}+\pi\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3}+\pi x + C.$$ ### 2. Sustitución (cambio de variable) - Se usa cuando la integral contiene una composición $f(g(x))g'(x)$. - Procedimiento: elegir $u=g(x)$, calcular $du=g'(x)\,dx$, sustituir y resolver. > Ejemplo: $\displaystyle \int x e^{x^{2}}\,dx$. Tomar $u=x^{2}$, $du=2x\,dx$; entonces $$\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u}+C = \frac{1}{2}e^{x^{2}}+C.$$ ### 3. Potencias y productos simples - Para integrales del tipo $\int (ax^{m}+\dots)\,dx$ aplicar linealidad y la regla de potencias. - Para productos donde aparece una derivada proporcional, usar sustitución. > Ejemplo: $\displaystyle \int (27x^{7}+3x^{5}-45x^{3}+\sqrt{2}\,x)\,dx$ resulta $$\frac{27x^{8}}{8}+\frac{3x^{6}}{6}-\frac{45x^{4}}{4}+\frac{\sqrt{2}\,x^{2}}{2}+C.$$ ### 4. Integrales con raíces y potencias fraccionarias - Reescribir raíces como potencias: $\sqrt{z}=z^{1/2}$ y aplicar la regla de potencias o sustitución. > Ejemplo: $\displaystyle \int (z^{2}+1)^{2}\sqrt{z}\,dz$. Es conveniente desarrollar o usar $u=z^{2}+1$ si aparece $dz$ múltiplo de $z$; otra vía es expandir y usar potencias. ## Integración por partes y fórmulas relacionadas > Definición: La fórmula básica (producto) se demuestra por la regla del producto: si $F'=f$ y $G'=g'$, entonces $$\int \bigl(f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\bigr)\,dx = f(x)g(x)+C.$$ - Esta identidad se obtiene integrando la derivada de $f(x)g(x)$. ### Extensión para potencias A partir de la anterior se obtiene la fórmula $$\int f^{m-1}(x)g^{n-1}(x)\bigl(nf(x)g'(x)+mf'(x)g(x)\bigr)\,dx = f^{m}(x)g^{n}(x)+C.$$ > Ejemplo: Si $f(x)=u(x)$ y $g(x)=v(x)$, tomar $m=2$, $n=1$ recupera integrales con factor derivada. ## Integrales trigonométricas y técnicas especiales - Para integrales que involucran $\sin x$ y $\cos x$ con potencias, usar sustituciones como $u=\sin x$ o $u=\cos x$ según convenga. - Para expresiones con $\sin x\cos x\sqrt{1+\sin^{2}x}$ o similares, identificar una derivada presente facilita la sustitución. > Ejemplo: $\displaystyle \int \sin x\,(1+\cos x)^{4}\,dx$. Tomar $u=1+\cos x$, $du=-\sin x\,dx$; entonces $$\int \sin x\,(1+\cos x)^{4}\,dx = -\int u^{4}\,du = -\frac{u^{5}}{5}+C = -\frac{(1+\cos x)^{5}}{5}+C.$$ ## Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden ### Tipos y métodos básicos - EDOs separables: cuando se puede escribir $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$, se separan variables y se integra: $\displaystyle \int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx + C$. - EDOs lineales de primer orden: forma $\displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ se resuelve con factor integrante. > Ejemplo (separable): $\displaystyle \frac{dy}{dx}=x y$. Separar: $\frac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integrar: $$\ln|y| = \frac{x^{2}}{2}+C\quad\Rightarrow\quad y = Ce^{x^{2}/2}.$$ ### Resol