Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales: Guía Esencial para Estudiantes
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Pregunta: ¿Cuál es la antiderivada general de f(x)=x^2+π ?
Respuesta: F(x)=x^3/3+πx+C
Pregunta: Encuentra la antiderivada general de f(x)=27x^7+3x^5−45x^3+√2 x.
Respuesta: F(x)=27·x^8/8+3·x^6/6−45·x^4/4+√2·x^2/2+C (se puede simplificar coeficientes)
Pregunta: ¿Cómo se integra f(x)=4x^6+3x^4x^3 si hay ambigüedad en la expresión?
Respuesta: Interpretando como 4x^6+3x^7, la antiderivada es F(x)=4·x^7/7+3·x^8/8+C
Pregunta: ¿Cuál es la antiderivada general de f(x)=x^2−2cos x ?
Respuesta: F(x)=x^3/3−2 sin x+C
Pregunta: Encuentra la antiderivada de f(x)=x e^{x^2}.
Respuesta: F(x)=e^{x^2}/2+C (por sustitución u=x^2 → du=2x dx)
Pregunta: ¿Cuál es la antiderivada general de f(x)=sin x−cos x ?
Respuesta: F(x)=−cos x−sin x+C
Pregunta: Integra indefinidamente (x^2+x) dx.
Respuesta: ∫(x^2+x)dx = x^3/3 + x^2/2 + C
Pregunta: Resuelve la integral ∫(z^2+1)^{2}√z dz (planteamiento de substitución).
Respuesta: Usar z=t^2 o sustituir u=√z; la integral requiere cambio de variable (resultado será una combinación polinómica en √z más constante).
Pregunta: Cómo abordar ∫(5x^2+1)(5x^3+3x−8)^6 dx ?
Respuesta: Usar u=5x^3+3x−8, entonces du=(15x^2+3)dx=3(5x^2+1)dx; por tanto integral = (1/3)∫u^6 du = (1/21)u^7 + C
Pregunta: Estrategia para integrar ∫ sin x (1+cos x)^4 dx.
Respuesta: Usar u=1+cos x → du=−sin x dx, así ∫ sin x(1+cos x)^4 dx = −∫u^4 du = −u^5/5 + C = −(1+cos x)^5/5 + C