Resumen de Cálculo de Deciles en Datos No Agrupados

## Introducción Los **deciles** son medidas de posición que dividen un conjunto de datos ordenados en diez partes iguales. Cada decil indica el valor bajo el cual se encuentra un cierto porcentaje de observaciones. En este material repasaremos la definición, la fórmula de posición directa, ejemplos resueltos paso a paso y cómo interpretar los resultados en contextos reales. > **Definición:** Un decil $D_k$ es el valor tal que $k\times 10\%$ de los datos son menores o iguales a ese valor, con $k=1,2,\dots,9$. ## Conceptos esenciales ### Datos y orden 1. Siempre **ordenar** los datos de menor a mayor antes de aplicar fórmulas. 2. Denotaciones: cantidad de datos $n$, decil solicitado $k$, posición $P$. ### Fórmula de posición directa > **Definición:** Para obtener el decil $D_k$ por el método de posición directa se calcula la posición $$P = \frac{k \times n}{10}$$ - Si $P$ es entero, $D_k$ es el valor en la posición $P$. - Si $P$ no es entero, se toma la posición inmediata superior, es decir $\lceil P \rceil$, y $D_k$ será el valor en esa posición. Fun fact: ¿Sabías que los deciles se utilizan en economía para analizar la distribución del ingreso, dividiendo la población en diez grupos según su ingreso? ### Comparación con otras medidas de posición | Medida | Cómo se calcula | Divide en | Uso típico | |---|---:|---:|---| | Percentiles | $P = \frac{p\times n}{100}$ | 100 partes | Evaluar puntuaciones escolares | | Cuartiles | posiciones $\frac{n}{4},\frac{2n}{4},\frac{3n}{4}$ | 4 partes | Resumen de dispersión | | Deciles | $P=\frac{k\times n}{10}$ | 10 partes | Análisis detallado de distribución | ## Procedimiento paso a paso 1. Ordenar los datos: $x_{(1)}\le x_{(2)}\le \dots \le x_{(n)}$. 2. Identificar $n$ y $k$. 3. Calcular $P = \dfrac{k\times n}{10}$. 4. Si $P$ entero, tomar $x_{(P)}$. Si no, tomar $x_{(\lceil P \rceil)}$. 5. Interpretar: $D_k$ indica que $k\times 10\%$ de las observaciones son menores o iguales a $D_k$. ## Ejemplos prácticos resueltos ### Ejercicio A: Pares de valores (Ejemplos 1–6 del enunciado) Datos desordenados: $5,2$, $6,0$, $3,8$, $4,5$, $5,7$, $6,5$, $4,9$ 1. Ordenar de menor a mayor: $0.6$, $2.5$, $3.8$, $4.5$, $4.9$, $5.2$, $5.7$, $6.5$ (nota: aquí se interpreta cada par como decimal si corresponde; revise el formato original). 2. $n=8$. 3. Supóngase que $k=6$. 4. Posición: $$P=\frac{6\times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8$$ 5. Como $P$ no es entero, tomar $\lceil 4.8 \rceil = 5$. Entonces $D_6 = x_{(5)} = 4.9$. 6. Interpretación: $D_6=4.9$ significa que el 60% de los datos son menores o iguales a $4.9$. ### Ejercicio B: Pedidos por hora (Ejercicio 9) Datos registrados (20 horas): $6$, $8$, $5$, $10$, $12$, $9$, $7$, $11$, $15$, $14$, $13$, $16$, $18$, $17$, $20$, $19$, $22$, $21$, $24$, $23$. 1. Ordenados: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$, $16$, $17$, $18$, $19$, $20$, $21$, $22$, $23$, $24$. 2. $n=20$. 3. $k=8$. 4. Posición: $$P=\frac{8\times 20}{10} = \frac{160}{10} = 16$$ 5. $P$ es entero, por tanto $D_8 = x_{(16)} = 20$. 6. Interpretación: $D_8=20$ indica que el 80% de las horas tuvieron $\le 20$ pedidos; sólo el 20% tuvieron más de 20 pedidos. ### Ejercicio C: Ahorros semanales (Ejercicio 10) Datos (15 estudiantes): $2000$, $3500$, $3000$, $4000$, $2500$, $5000$, $4500$, $6000$, $5500$, $7000$, $6500$, $8000$, $7500$, $9000$, $8500$. 1. Ordenados: $2000$, $2500$, $3000$, $3500$, $4000$, $4500$, $5000$, $5500$, $6000$, $6500$, $7000$, $7500$, $8000$, $8500$, $9000$. 2. $n=15$. 3. $k=4$. 4. Posición: $$P=\frac{4\times 15}{10} = \frac{60}{10} = 6$$ 5. $P$ entero, $D_4 = x_{(6)} = 4500$. 6. Interpretación: $D_4=4500$ significa que el 40% de los estudiantes ahorraron $\le 4500$ pesos. ### Ejercicio D: Kilómetros caminados (Ejercicio 11) Datos (22 personas): $1.2$, $1.5$, $1.1$, $1.8$, $2.0$, $1.6$, $1.4$, $2.2$, $2.5$, $2.1$, $1.9$, $2.3$, $2.4$, $2.6$, $2.8$, $2.7$, $3.0$, $2.9$, $3.1$, $3.2$, $3.3$, $3.5$. 1. Or