Resumen de Aplicaciones de las Derivadas en Cálculo

## Introducción La derivada es una herramienta fundamental del cálculo que mide la tasa de variación instantánea de una función. Con ella podemos determinar dónde una función crece o decrece, la inclinación de sus rectas tangentes, su concavidad y localizar puntos de inflexión. Este material explica conceptos clave, procedimientos prácticos y ejemplos resueltos para un estudiante que estudia de forma independiente. ## Contenidos principales - Pendiente y recta tangente - Relación entre el signo de $f'(x)$ y crecimiento/decrecimiento - Valores críticos y procedimiento para estudiar intervalos de monotonicidad - Concavidad, derivada segunda y puntos de inflexión - Procedimiento práctico con ejemplos > Definición: La **pendiente** de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta y se denota por $m$. Indica la inclinación respecto al eje de abscisas. ### Pendiente y recta tangente - Si una función tiene ecuación $y=f(x)$ y es derivable en $x=a$, la pendiente de la recta tangente en $(a,f(a))$ es $f'(a)$. - Interpretación geométrica: - Si la inclinación $\\alpha<90^{\circ}$ entonces $m>0$ (pendiente positiva). - Si $90^{\circ}<\\alpha<180^{\circ}$ entonces $m<0$ (pendiente negativa). ## Crecimiento y decrecimiento (primer derivada) > Definición: Un **valor crítico** de $f$ es un $x$ donde $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no existe. Reglas clave: 1. Si $f'(x)>0$ en un intervalo, entonces $f$ es creciente en ese intervalo. 2. Si $f'(x)<0$ en un intervalo, entonces $f$ es decreciente en ese intervalo. 3. Si $f'(x)=0$ en un intervalo, entonces $f$ es constante en ese intervalo. Procedimiento práctico para determinar intervalos de crecimiento/decrecimiento: 1. Calcular $f'(x)$ y encontrar valores críticos: soluciones de $f'(x)=0$ y puntos donde $f'(x)$ no existe. 2. Dividir la recta real en intervalos determinados por esos valores críticos. 3. Elegir un punto de prueba en cada intervalo y evaluar el signo de $f'(x)$. 4. Concluir si la función crece o decrece en cada intervalo. ### Ejemplo 1 (monotonicidad) Sea $f(x)=x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}$. Calcular: $$f'(x)=3x^{2}-3x$$ Factorizamos: $$f'(x)=3x(x-1)$$ Valores críticos: $x=0$, $x=1$. Intervalos: $(-\infty,0)$, $(0,1)$, $(1,\infty)$. Signos de $f'(x)$ por intervalo (usar prueba rápida): - $(-\infty,0)$: $f'(x)<0$ \quad (decreciente) - $(0,1)$: $f'(x)>0$ \quad (creciente) - $(1,\infty)$: $f'(x)>0$ \quad (creciente) Puntos estacionarios: $(0,0)$ y $(1,-\tfrac{1}{2})$. ### Ejemplo 2 (derivada no definida) Sea $f(x)=\left(x^{2}-4\right)^{2/3}$. Se obtiene $f'(x)$ y se encuentra que $f'(x)=0$ en $x=0$ y $f'(x)$ no está definida en $x=2$ y $x=-2$. Por tanto los valores críticos son $-2$, $0$, $2$. Evaluando el signo de $f'(x)$ en los intervalos se determina dónde crece o decrece. > Did you know que un punto donde $f'(x)=0$ no siempre implica cambio de crecimiento? Por ejemplo $f(x)=x^{3}$ tiene $f'(0)=0$ pero es creciente en todo $\mathbb{R}$. ## Concavidad y derivada segunda > Definición: La gráfica de $f$ es **cóncava hacia arriba** en un intervalo si $f'(x)$ es creciente en ese intervalo, y **cóncava hacia abajo** si $f'(x)$ es decreciente. Criterio mediante la segunda derivada: - Si $f''(x)>0$ en un intervalo, la gráfica de $f$ es cóncava hacia arriba en ese intervalo. - Si $f''(x)<0$ en un intervalo, la gráfica de $f$ es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Interpretación geométrica: - Si las rectas tangentes quedan por debajo de la curva, la curva es cóncava hacia arriba. - Si las rectas tangentes quedan por encima de la curva, la curva es cóncava hacia abajo. ### Punto de inflexión > Definición: Un **punto de inflexión** es un punto $(a,f(a))$ donde la función tiene recta tangente y cambia de concavidad a izquierda y derecha. - Si $f''(a)$ existe, entonces necesariamente $f''(a)=0$ en un punto de inflexión, pero esto no es suficiente. La condición suficiente es que $f''(x)$ cambie de signo al atravesar $a$. - Si $f''(a)$ no existe, aún puede ser pun