Resumen de Análisis Matemático I: Exámenes y Temario
Análisis Matemático I: Exámenes, Temario y Guía Completa
Introducción
El objetivo de este material es ofrecer una guía clara y práctica sobre los pilares del cálculo diferencial e integral que se usan con frecuencia en cursos universitarios. Veremos definiciones, teoremas fundamentales, técnicas de derivación e integración y aplicaciones prácticas en economía y geometría.
Definición: El cálculo estudia el cambio (derivadas) y la acumulación (integrales) mediante herramientas analíticas basadas en límites.
Capítulo: Derivadas y sus aplicaciones
1. Definición de derivada
Definición: La derivada de una función $f$ en $x=a$ es $f'(a)=\lim_{h o 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, siempre que exista.
- Interpretación geométrica: pendiente de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en $x=a$.
- Interpretación física: tasa instantánea de cambio (velocidad si $f$ es posición).
2. Reglas básicas de derivación
- Derivada de potencia: $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$.
- Regla del producto: $\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.
- Regla del cociente: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}$.
- Derivada de composición (regla de la cadena): $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x)),g'(x)$.
Definición: La diferencial de $f$ en $x$ es $df=f'(x)dx$ y aproxima cambios pequeños en $f$.
3. Derivadas especiales y aplicaciones económicas
- Derivada logarítmica: $\frac{d}{dx}\log f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$.
- Elasticidad de la demanda: para una función demanda $p(x)$, la elasticidad precio es $E(x)=\frac{p'(x)}{p(x)}x$.
4. Estudio de funciones con derivadas
- Crecimiento y decrecimiento: $f'(x)>0$ implica crecimiento; $f'(x)<0$ implica decrecimiento.
- Extremos relativos: puntos donde $f'(x)=0$ o $f'$ no existe; aplicar criterio de la primera o segunda derivada.
- Concavidad y punto de inflexión: concavidad hacia arriba si $f''(x)>0$, hacia abajo si $f''(x)<0$; punto de inflexión cuando cambia el signo de $f''$.
Tabla comparativa: criterios para extremos y concavidad
| Propiedad | Condición | Consecuencia |
|---|---|---|
| Extremo crítico | $f'(c)=0$ | candidato a extremo relativo |
| Segundo criterio | $f''(c)>0$ o $f''(c)<0$ | mínimo relativo o máximo relativo |
| Concavidad | $f''(x)>0$ o $f''(x)<0$ | concava hacia arriba o abajo |
Capítulo: Teoremas de funciones derivables
Definición: Teoremas que relacionan continuidad, derivabilidad y comportamiento global de funciones.
- Teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$.
- Teorema del valor medio (Lagrange): si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
- Teorema de Cauchy: versión general del valor medio para dos funciones.
- Regla de L'Hospital: para límites de tipo indeterminado $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, $\lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f'}{g'}$ bajo condiciones.
Capítulo: Integrales y técnicas
1. Integral indefinida
Definición: Una primitiva de $f$ es una función $F$ tal que $F'(x)=f(x)$. La integral indefinida se escribe $\int f(x) dx=F(x)+C$.
Técnicas principales:
- Sustitución: usar $u=g(x)$ para simplificar $\int f(g(x))g'(x) dx$.
- Integración por partes: $\int u,dv=uv-\int v,du$.
- Fracciones parciales: descomponer racionales en sumas simples para integrar.
Ejemplo de integración por sustitución:
Tomar $\int 2x,e^{x^{2}} dx$.
Sea $u=x^{2}$, entonces $du=2x dx$.
$$\int 2x,e^{x^{2}} dx=\int e^{u} du=e^{u}+C$$
$$=e^{x^{2}}+C$$
2. Integral definida
Definición: La integral definida $\int_{a}^{b} f(x) dx$ representa el límite de sumas y coincide con el área algebraica bajo la curva entre $a$ y $b$.
Propiedades: linealidad, aditividad por intervalos, desigualdad de integrales.
Teorema fundamental del cálculo:
- Primera parte: si $F(x)=\int_{a
Zaregistruj se pro celé shrnutí¿Ya tienes cuenta? Iniciar sesión
Cálculo — Conceptos y Aplicaciones
Klíčové pojmy: La derivada $f'(a)=\lim_{h o 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ es la pendiente de la tangente., Regla de la cadena: $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)$., Extremos relativos cuando $f'(x)=0$ y se confirma con $f''(x)$., Concavidad: $f''(x)>0$ concava arriba, $f''(x)<0$ concava abajo., Teorema de Lagrange: $\exists c$ con $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$., Integral indefinida: $\int f(x)dx=F(x)+C$ con $F'(x)=f(x)$., Teorema fundamental: $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt=f(x)$ y $\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$., Integración por partes: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$., Sustitución: usar $u=g(x)$ cuando aparece $g'(x)$ factor multiplicativo., Condición necesaria para series: si $\sum a_{n}$ converge entonces $a_{n}\to 0$.