Resumen de Análisis de Esfuerzos y Deformaciones

## Introducción En esta unidad veremos conceptos claves relacionados con el análisis del estado tensional en el campo tridimensional y su proyección en el plano, la deformación volumétrica y el trabajo interno específico de deformación. Aunque algunos detalles sobre tensiones y el Círculo de Mohr se tratan en otros apartados, aquí nos enfocaremos en cómo el estado tridimensional afecta magnitudes como la deformación volumétrica, la energía interna por deformación y la descomposición en partes de dilatación y distorsión. ## 1. Estado tridimensional y direcciones principales ### Concepto general > **Definición:** Para cualquier punto en un medio continuo tridimensional existen tres direcciones ortogonales llamadas **direcciones principales**, en las cuales las componentes tangenciales sobre las caras correspondientes son nulas. - En esas caras aparecen solo las componentes normales, que se suelen denotar $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. - Una de ellas es la máxima ($\sigma_1$), otra la mínima ($\sigma_3$) y la tercera adopta un valor intermedio ($\sigma_2$). - La mayor componente cortante local aparece en planos que bisecan las direcciones de tracción y compresión principal (por ejemplo, a $45^\circ$ entre $\sigma_1$ y $\sigma_3$ en casos típicos). ### Casos relevantes al proyectar al plano Al estudiar un problema bidimensional (por ejemplo en el plano $xy$) estamos considerando un subconjunto de planos del estado tridimensional. Al pasar de 3D a 2D conviene distinguir situaciones: - Caso A: las componentes principales dentro del plano correspondían a tracción (ambas positivas en convenciones usuales). Denotamos estas como $\sigma_{1}^{D}$ y $\sigma_{2}^{D}$ en la visión 2D.\ - Caso B: $\sigma_{1}^{D}$ en tracción y $\sigma_{2}^{D}$ en compresión.\ - Caso C: ambas componentes en compresión. Estos casos influyen en la aparición de planos oblicuos con componentes adicionales no consideradas en el análisis meramente planar. Did you know que en planos oblicuos a la dirección principal pueden surgir componentes cortantes mayores que las observadas en el plano original? ## 2. Deformación específica volumétrica ### Definición y expresión básica > **Definición:** La deformación específica volumétrica $e$ mide el cambio relativo de volumen respecto al volumen inicial: $e = \dfrac{\Delta V}{V_{i}} = \dfrac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}}$. Si las dimensiones del elemento cambian según $l_x \to l_x(1+\varepsilon_x)$, $l_y \to l_y(1+\varepsilon_y)$, $l_z \to l_z(1+\varepsilon_z)$ entonces el cambio volumétrico aproximado (para deformaciones pequeñas) es: $$e = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$ - Para un **estado simple** (actúa una sola componente de esfuerzo), la expresión anterior se mantiene pero muchas componentes son cero. - Para un **estado general** (actúan tres direcciones), las tres deformaciones longitudinales intervienen. ### Relación con propiedades elásticas En un material lineal elástico isótropo existe relación entre deformaciones y esfuerzos que involucra el módulo de Young $E$ y el coeficiente de Poisson $\mu$. Si el estado es isótropo con $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \sigma$, la deformación volumétrica se puede expresar como: $$e = 3\,\dfrac{\sigma}{E} (1 - 2\mu)$$ - Para que un aumento de tensión de tracción ($\sigma>0$) provoque incremento de volumen $e>0$ debe cumplirse $1 - 2\mu > 0$, es decir $0 < \mu < 0.5$. Fun fact: los materiales con coeficiente de Poisson cercano a $0.5$ (como fluidos casi incompresibles) muestran cambios volumétricos prácticamente nulos ante esfuerzos hidrostáticos. ## 3. Trabajo interno específico de deformación ### Interpretación física > **Definición:** El trabajo interno específico de deformación $T^{*}$ es la energía por unidad de volumen almacenada en el material debido a las deformaciones causadas por las cargas aplicadas. - Sólo las componentes de esfuerzo que tienen desplazamientos paralelos contribuyen al trabajo; componentes perpendiculares no realizan trab