Resumen de Álgebra Universitaria: Conceptos Fundamentales

## Introducción Breve repaso de los temas centrales de este material: simplificación de expresiones algebraicas, números complejos en formas rectangular y polar, descomposición en fracciones parciales, operaciones con polinomios, resolución de ecuaciones trigonométricas, teoría básica de conjuntos y lógica aplicada, identidades trigonométricas, y ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Este compendio presenta conceptos clave, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas para estudiantes universitarios. > Definición: Este material cubre técnicas y procedimientos para manipular expresiones algebraicas y resolver ecuaciones típicas en cursos de Álgebra y trigonometría a nivel universitario. ## 1. Álgebra básica: reducción y operatoria de expresiones algebraicas ### Conceptos clave - Factorización, productos notables, y reducción de fracciones algebraicas. - Restricciones de dominio surgidas de denominadores o raíces pares. > Definición: Reducir una expresión algebraica significa escribirla en la forma más simple equivalente mediante factorización y cancelación válida bajo las restricciones de variable. ### Ejemplo guiado 1 Reducir completamente la expresión, indicando restricciones: $$\left(\dfrac{(p^{2}+3)(p^{2}-9)}{2}\right)-\left(\dfrac{6p(p^{2}-9)}{2}\right)^{2},\quad p\neq \pm 3$$ Paso 1: factorice $p^{2}-9= (p-3)(p+3)$. Paso 2: simplifique factores comunes antes de elevar o expandir. (Procedimiento): 1. Escribir cada parte factorizada. 2. Cancelar factores comunes respetando $p\neq \pm 3$. 3. Expandir solo lo necesario y simplificar términos semejantes. ### Ejemplo guiado 2 Simplificar y combinar fracciones: $$\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{x}{x^{2}+x-2}$$ Observación: $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$. Lleve a común denominador y reduzca. ### Aplicaciones prácticas - Simplificación de expresiones en cálculo diferencial e integral. - Manipulación de fórmulas en física y economía. ¿Sabías que la factorización eficiente reduce significativamente el tiempo de cómputo al evaluar expresiones simbólicas en software matemático? ## 2. Números complejos: raíces, potencias y forma polar ### Conceptos clave - Forma rectangular $a+bi$ y forma polar $re^{i\theta}$ o $r(\cos\theta + i\sin\theta)$. - Raíces de números complejos y aplicación del teorema de De Moivre. > Definición: La forma polar de un complejo $z=a+bi$ es $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$ con $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ y $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$. ### Ejemplo 1: raíces cuadradas Determinar las dos raíces cuadradas de $$z=-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i$$ Método: escriba $z$ en forma polar $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, aplique la fórmula de raíces: si $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$ entonces raíces cuadradas son $$\sqrt{r}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{2}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{2}\right),\quad k=0,1.$$ ### Ejemplo 2: potencias con De Moivre Exprese $$w=1+i$$ en forma polar y calcule $$w^{6}$$ usando De Moivre. 1. $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$, $\theta=\pi/4$. 2. $w=\sqrt{2}(\cos\pi/4 + i\sin\pi/4)$. 3. $$w^{6}=(\sqrt{2})^{6}\left(\cos\dfrac{6\pi}{4}+i\sin\dfrac{6\pi}{4}\right).$$ ### Aplicaciones prácticas - Análisis de circuitos eléctricos en el dominio fasorial. - Solución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Fun fact: Los números complejos fueron introducidos para resolver ecuaciones cúbicas y hoy son esenciales en ingeniería eléctrica, física cuántica y procesamiento de señales. ## 3. Fracciones parciales ### Conceptos clave - Descomposición en fracciones parciales de funciones racionales según factoración del denominador (lineal, repetido, cuadrático irreducible). > Definición: La descomposición en fracciones parciales expresa una fracción racional como suma de fracciones más simples cuyo denominador son factores del denominador original. ### Ejemplo 1 Descomponer $$\dfrac{x^{3}-x^{2}-2x+5}{x^{2}-1}$$ Paso: dividir si grado numerador \geq grado denominador; luego descomponer la parte propia. Nota: $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$. ### E