Tarjetas de Álgebra Universitaria: Conceptos Fundamentales
Álgebra Universitaria: Conceptos Fundamentales y Ejercicios
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Matemáticas (Álgebra y temas afines)
16 tarjetas
Tarjeta 1
Pregunta: ¿Cómo se reduce completamente la expresión ((p² + 3)(p² − 9))² − (6p(p² − 9))² y cuál es la restricción sobre p?
Respuesta: Se factoriza como diferencia de cuadrados: [(p²+3)(p²−9) − 6p(p²−9)]·[(p²+3)(p²−9) + 6p(p²−9)] = (p²−9)[(p²+3) − 6p]·(p²−9)[(p²+3) + 6p] = (p²−9)²[(p²
Tarjeta 2
Pregunta: Combina y simplifica la expresión racional: (2/(x−1)) − (3/(x+2)) + (x/(x²+x−2)).
Respuesta: Notar que x²+x−2=(x−1)(x+2). Combinando con denominador común (x−1)(x+2) se obtiene: [2(x+2) − 3(x−1) + x] / [(x−1)(x+2)] = [2x+4 −3x+3 + x] / [(x−1)(
Tarjeta 3
Pregunta: ¿Cómo se expresan en forma rectangular las dos raíces cuadradas del número complejo z = −(√3/2) i?
Respuesta: Buscamos w = a+bi tal que (a+bi)² = −(√3/2)i. Resolviendo da las dos raíces conjugadas: w = ±( (1/2) + i( (√3+1)/4 ) ) — (resultado obtenido resolvien
Tarjeta 4
Pregunta: Expresa w = 1 + i en forma polar y calcula w⁶ usando De Moivre.
Respuesta: Forma polar: r = √2, θ = π/4. Entonces w = √2·cis(π/4). w⁶ = (√2)⁶·cis(6·π/4) = 8·cis(3π/2) = 8·(0 − i) = −8i.
Tarjeta 5
Pregunta: Descompón en fracciones parciales p(x)/q(x) = (x³ − x² − 2x + 5)/(x² − 1).
Respuesta: Como grado numerador > denominador se divide: (x³ − x² − 2x +5) ÷ (x²−1) = x + 0 + (−2x+5)/(x²−1). Luego descomponer (−2x+5)/(x−1)(x+1) = A/(x−1)+B/(x
Tarjeta 6
Pregunta: Descompón (3x² − 4x + 2)/[x(x−1)²] en fracciones parciales con factor lineal repetido.
Respuesta: Forma: A/x + B/(x−1) + C/(x−1)². Se determina A,B,C resolviendo la identidad: 3x²−4x+2 = A(x−1)² + B x(x−1) + C x. (Encontrar A,B,C mediante comparaci
Tarjeta 7
Pregunta: Usando el teorema del resto (sin dividir completamente), ¿cuál es el resto al dividir P(x)=x³+2x²−5x−6 por (x+1)?
Respuesta: El resto es P(−1) = (−1)³ + 2(−1)² −5(−1) −6 = −1 +2 +5 −6 =0. Por tanto el resto es 0 (x+1 es factor).
Tarjeta 8
Pregunta: ¿Para qué valor de k el polinomio P(x)=x³−3x²+kx−4 tiene (x−2) como factor y cuáles son las otras raíces del polinomio resultante?
Respuesta: Si (x−2) es factor, P(2)=0 ⇒ 8 −12 +2k −4 =0 ⇒ 2k −8 =0 ⇒ k=4. Con k=4, dividir por (x−2) da cuadrática x²−x+2 cuya raíces se obtienen por la fórmula:
Tarjeta 9
Pregunta: Resuelve en [0,2π] la ecuación 2cos²x + 3senx − 3 = 0 reduciéndola a una ecuación cuadrática en una sola función trigonométrica.
Respuesta: Usar cos²x = 1−sen²x: 2(1−sen²x)+3senx−3=0 ⇒ −2sen²x+3senx−1=0 ⇒ 2sen²x −3senx +1=0. Resolver para senx: senx = [3 ± √(9−8)]/4 = [3 ±1]/4 ⇒ senx =1 or
Tarjeta 10
Pregunta: Resuelve en [0,2π] la ecuación sen(2x) = sen x aplicando identidad de ángulo doble.
Respuesta: sen(2x)=2senx cosx. Igualando: 2senx cosx = senx ⇒ senx(2cosx−1)=0. Entonces senx=0 ⇒ x=0,π,2π; o cosx=1/2 ⇒ x=π/3,5π/3. Todas en [0,2π].