Summary of Instrumental Variables for Causal Inference

## Úvod Instrumentální proměnné (IV) jsou metoda kauzální inference, která pomáhá odhadnout příčinný efekt ošetření (třeba vliv vysokoškolského vzdělání na příjem), když nelze přímo randomizovat. Hlavní myšlenka: najít proměnnou $Z$ (instrument), která ovlivňuje ošetření $X$, ale neovlivňuje přímo výsledek $Y$ kromě cesty přes $X$. > **Definice:** Instrument $Z$ je proměnná, která splňuje relevanci (ovlivňuje $X$) a exkluzi (neovlivňuje $Y$ jinak než přes $X$). ## Základní problém: selekce - Pokud si lidé volí $X$ (např. jít na vysokou školu), volba může korelovat s nevypozorovatelnými schopnostmi $U$, které zároveň ovlivňují $Y$. - OLS odhad pak smíchá skutečný efekt $X$ s vlivem $U$. > **Definice:** Selektivita znamená, že reziduální faktor $U$ je korelován s ošetřením $X$, což znesnadňuje odlišení kauzálního efektu. ## Dva hlavní předpoklady IV 1. Relevance: instrument má bite na $X$. Testovatelné regrese: regrese $X$ na $Z$ by měla mít nenulový koeficient. Například první stupeň: $$X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \pi_2 W_i + v_i$$ 2. Exclusion (exclusion restriction): $Z$ ovlivňuje $Y$ pouze skrz $X$, neexistuje přímá cesta $Z \to Y$ ani korelace se skrytými $U$. Tento předpoklad nelze plně otestovat daty; musí být obhájen teorií. ## Nejjednodušší IV: Waldův odhad Platí když jsou $Z$ a $X$ binární. Waldův odhad je poměr: rozdíl průměrů $Y$ mezi $Z=1$ a $Z=0$ dělený rozdílem průměrů $X$ mezi nimi. $$\hat{\beta}_{IV} = \frac{\overline{Y}_{Z=1} - \overline{Y}_{Z=0}}{\overline{X}_{Z=1} - \overline{X}_{Z=0}}$$ - Numerátor: "reduced form" (účinek $Z$ na $Y$). - Denominátor: "first stage" (účinek $Z$ na $X$). Praktický příklad (simulace): - Instrument $Z$: loterie o stipendium - Pravý efekt $\beta=0.05$; Waldův odhad v simulaci dává přibližně $0.053$. > **Definice:** Reduced form je efekt $Z$ na $Y$; First stage je efekt $Z$ na $X$. ## Dvouetapový odhad (Two-Stage Least Squares, 2SLS) Když máme kontrolní proměnné nebo spojité proměnné, použijeme 2SLS. 1. Stage 1 (první stupeň): regrese $X$ na $Z$ a případné kontrolní proměnné $W$ a získání predikovaných hodnot $\hat{X}$: $$X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \pi_2 W_i + v_i$$ $$\hat{X}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i + \hat{\pi}_2 W_i$$ 2. Stage 2 (druhý stupeň): regrese $Y$ na $\hat{X}$ a stejné kontrolní proměnné $W$: $$Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + \beta_2 W_i + u_i$$ - Interpretace: $\hat{X}$ je "exogenní kus" $X$ vyjádřený přes $Z$, takže je nekorelovaný s $U$. - Důležité: Nespouštějte dvě oddělené regrese a nevybírejte pouze druhostupňové SE; použijte specializovaný IV příkaz (např. feols nebo ivreg), který správně počítá standardní chyby. Tabulka porovnání OLS vs 2SLS (ilustrativní): | Metoda | Odhad koeficientu | Standardní chyba | |--------|-------------------:|-----------------:| | Naivní OLS | 0.4427 | 0.0145 | | 2SLS | 0.0531 | 0.0429 | ## Heterogenita efektů a LATE - Efekty ošetření mohou být rozdílné napříč lidmi. IV identifikuje ne ATE, ale LATE (Local Average Treatment Effect). > **Definice:** LATE je průměrný kauzální efekt pro kompliers, tedy pro ty, jejichž $X$ se změní v závislosti na $Z$. Pro binární $Z$ a $X$ existují čtyři typy jedinců (Imbens–Angrist 1994): - Compliers: $X=0$ když $Z=0$, $X=1$ když $Z=1$ (reaktivní skupina). - Always-takers: $X=1$ nezávisle na $Z$. - Never-takers: $X=0$ nezávisle na $Z$. - Defiers: $X=1$ když $Z=0$ a $X=0$ když $Z=1$ (obvykle považováni za nepravděpodobné). Monotonicita ("no defiers") je klíčová: instrument by měl pohybovat lidi jedním směrem, ne některé tam a jiné opačně. Did you know that LATE applies pouze na kompliers a že kompliers závisí na konkrétním instrumentu, takže různé instrumenty mohou identifikovat různé populace? ## ITT vs LATE v kontextu politiky (Eligibility jako instrument) - Když program zavádí způsobilost (eligibility) jako $Z$ a skutečné užití je $X$, rozdíl mezi platnými a neplatnými (reduced form) dává ITT (intent-to-treat). - Bloomova formule: $$\text{LATE} = \frac{\text{ITT}}{\text{c