Summary of Algebra 2 and Trigonometry Practice

## Introducción Las funciones modelan relaciones entre cantidades. En este material veremos cómo transformar funciones (reflejos, traslaciones y estiramientos), composición y operaciones básicas con funciones, funciones por tramos, inversas y problemas aplicados. Usaremos ejemplos resueltos y explicaciones paso a paso para estudiantes de secundaria. > Definición: Una **función** es una regla que asigna a cada valor de entrada $x$ exactamente un valor de salida $f(x)$. ## 1. Transformaciones básicas de funciones ### Tipos de transformaciones - **Reflexión respecto al eje $y$**: reemplazar $x$ por $-x$ en la expresión. Si $f(x)$ es la función original, la reflexión es $f(-x)$. - **Estiramiento vertical por factor $a$**: multiplicar la función por $a$: $a\,f(x)$. Si $a>1$, la gráfica se estira; si $0<a<1$, se comprime. - **Traslación horizontal por $h$ unidades a la derecha**: reemplazar $x$ por $x-h$: $f(x-h)$. - **Traslación vertical por $k$ unidades hacia arriba**: sumar $k$: $f(x)+k$. > Definición: Una **transformación** cambia la posición o forma de la gráfica de una función original mediante operaciones sobre $x$ o $f(x)$. ### Ejemplo práctico (función por tramos) Dada $$f(x)=\begin{cases}x^2-9x-1 &\text{si } x<0\\10-x &\text{si } x\ge 0\end{cases}$$ - Reflexión en el eje $y$: sustituimos $x$ por $-x$ en cada rama $$h(x)=f(-x)=\begin{cases}(-x)^2-9(-x)-1 &\text{si } -x<0\\10-(-x) &\text{si } -x\ge 0\end{cases}$$ Simplificando y ajustando condiciones (la condición $-x<0$ equivale a $x>0$): $$h(x)=\begin{cases}x^2+9x-1 &\text{si } x>0\\10+x &\text{si } x\le 0\end{cases}$$ - Estiramiento vertical por factor 2: $$k(x)=2\,f(x)=\begin{cases}2\left(x^2-9x-1\right) &\text{si } x<0\\2(10-x) &\text{si } x\ge 0\end{cases}$$ - Traslación horizontal 2 unidades a la derecha (función $g(x)$): sustituimos $x$ por $x-2$ en cada rama $$g(x)=f(x-2)=\begin{cases}(x-2)^2-9(x-2)-1 &\text{si } x-2<0\\10-(x-2) &\text{si } x-2\ge 0\end{cases}$$ Condiciones simplificadas: $x<2$ y $x\ge 2$ respectivamente. ## 2. Interceptos: ejemplos y procedimiento Para hallar interceptos: - Intercepto en $y$: evaluar $f(0)$. - Interceptos en $x$: resolver $f(x)=0$. Ejemplo: $f(x)=x^2-36$ y $g(x)=f(2x)$. - Para $f(x)=x^2-36$: - Intercepto en $y$: $f(0)=0^2-36=-36$ entonces $y$-intercepto $(0,-36)$. - Interceptos en $x$: resolver $x^2-36=0$ dando $x=\pm 6$; interceptos $(6,0)$ y $(-6,0)$. - Para $g(x)=f(2x)=(2x)^2-36=4x^2-36$: - Intercepto en $y$: $g(0)=-36$. - Interceptos en $x$: $4x^2-36=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$; interceptos $(3,0)$ y $(-3,0)$. ## 3. Ejemplo de estiramiento vertical aplicado Dadas $f(x)=-3x+12$ y $g(x)=-2f(x)$. - Primero calculemos $g(x)=-2(-3x+12)=6x-24$. - Interpretemos: $g(x)$ es una recta con pendiente $6$ y ordenada al origen $-24$. ## 4. Aplicar transformaciones a una gráfica Dado $f(x)=x^2+2x+1$ y $g(x)=-f\left(\dfrac{x}{2}\right)$: - Primero evaluate $f\left(\dfrac{x}{2}\right)=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+2\left(\dfrac{x}{2}\right)+1=\dfrac{x^2}{4}+x+1$. - Luego $g(x)=-\left(\dfrac{x^2}{4}+x+1\right)=-\dfrac{x^2}{4}-x-1$. - Interpretación: hay una compresión horizontal (por el reemplazo $x\mapsto x/2$) y una reflexión vertical (el signo negativo adelante). ## 5. Reflexión horizontal: ejemplo Si $f(x)=3x-6$ y $g(x)=f(-x)$ entonces $$g(x)=3(-x)-6=-3x-6.$$ Es la reflexión de la recta original respecto al eje $y$. ## 6. Problema aplicado: caminata de Ron Ron camina desde su casa al garaje a $8$ pies/s; la distancia al garaje es $3960$ pies. La función de ida es $D(x)=8x$ donde $x$ es tiempo en segundos. Cuando regresa, aumenta su velocidad en 25%, es decir su nueva velocidad es $$8\times(1+0.25)=8\times 1.25=10\,\text{pies/s}.$$ Si definimos $t$ como el tiempo (en segundos) después de empezar a caminar de regreso desde el garaje, la distancia desde la casa (cuando se aleja del garaje hacia la casa) disminuye; una función conveniente que expresa la distancia desde la casa es $$R(t)=3960-10t,$$ para $0\le t\le 3