Flashcards on Algebra 2 and Trigonometry Practice
Algebra 2 and Trigonometry Practice: Master Key Concepts
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Trigonometría: identidades y ecuaciones
88 cards
Card 1
Question: Demuestra la identidad: ¿Cómo se obtiene cos 2θ = (sin 2θ - tan θ)/tan θ a partir de identidades trigonométricas básicas?
Answer: Usa sin2θ=2sinθ cosθ y tanθ=sinθ/cosθ. Entonces RHS=(2sinθ cosθ - sinθ/cosθ)/(sinθ/cosθ) = (sinθ(2cosθ -1/cosθ))/(sinθ/cosθ) = (2cos^2θ -1) = cos2θ.
Card 2
Question: Expresa sin 4θ en términos de sin θ y cos θ y simplifica: ¿por qué sin4θ = 4cosθ sinθ - 8cosθ sin^3θ?
Answer: Usa sin4θ=2sin2θ cos2θ con sin2θ=2sinθ cosθ y cos2θ=1-2sin^2θ. Entonces sin4θ=2(2sinθ cosθ)(1-2sin^2θ)=4sinθ cosθ -8sin^3θ cosθ.
Card 3
Question: Usando identidades de ángulo medio, ¿cuál es el valor exacto de sin157.5°?
Answer: 157.5°=315°/2 o 225°/2? Mejor 157.5°=315°/2 so sin(157.5°)=sin(315°/2) = ±√((1-cos315°)/2). Con cos315°=√2/2, entonces sin157.5°=√((1-√2/2)/2) = √((2-
Card 4
Question: Calcula cos(5π/12) usando fórmulas de suma/mitad: ¿cuál es su valor exacto?
Answer: 5π/12 = π/3 - π/12 or π/4+π/6. Usando cos(π/4+π/6)=cosπ/4 cosπ/6 - sinπ/4 sinπ/6 = (√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=√2/2( (√3-1)/2 ) = (√2(√3-1))/4.
Card 5
Question: Simplifica tan(13π/8) encontrando un ángulo coterminal en [0,2π): ¿qué resulta?
Answer: 13π/8 - 2π =13π/8 -16π/8 = -3π/8. Tangente es periódica π, así tan(13π/8)=tan(-3π/8) = -tan(3π/8). (Valor exacto depende de raíz; expresión simplifica
Card 6
Question: Si sinθ = 1/5 y 90° < θ <180°, ¿cuáles son sin(θ/2), cos(θ/2) y tan(θ/2)?
Answer: θ en QII, sinθ=1/5 ⇒ cosθ = -√(1-1/25)= -√(24/25)= -2√6/5. Para θ/2 en QI: sin(θ/2)= ±√((1-cosθ)/2)=√((1+2√6/5)/2) = √((5+2√6)/10). cos(θ/2)=√((1+cosθ
Card 7
Question: Si cosθ = √7/4 y 270° < θ < 360°, ¿cuáles son sin(θ/2), cos(θ/2) y tan(θ/2)?
Answer: θ en QIV ⇒ cosθ positive, sinθ = -√(1-(7/16)) = -√(9/16)= -3/4. θ/2 en QII (porque θ between 270 and360 gives θ/2 between135 and180): sin(θ/2)=√((1-co
Card 8
Question: Si tanθ = 7 y 180° < θ <270°, ¿cómo se obtienen sin(θ/2), cos(θ/2) y tan(θ/2)?
Answer: θ en QIII, tanθ positive ⇒ sinθ and cosθ both negative. Representa con catetos: tanθ=7=7/1 ⇒ hypotenuse √(50)=5√2, sinθ = -7/(5√2) = -7√2/10, cosθ = -
Card 9
Question: Si tanθ = -√5/2 y 270° < θ < 360°, ¿cómo encontrar sin(θ/2), cos(θ/2) y tan(θ/2)?
Answer: θ en QIV so tan negative, sin negative, cos positive. Representa tan= -√5/2 ⇒ take adjacent 2, opposite -√5, hypotenuse √(4+5)=3. Entonces sinθ=-√5/3,
Card 10
Question: Problema aplicado: Si una rampa actual tiene base horizontal 13 ft y altura 9 in, y se duplica el ángulo con la acera, ¿cuánto medirá la nueva rampa (
Answer: Convierte 9 in =0.75 ft. Ángulo original α = arctan(0.75/13). Nuevo ángulo 2α ⇒ nueva longitud = vertical/sin(2α) =0.75/sin(2α). Usando sin2α=2tanα/(1