Test zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Zufallsvariablen

Frage 1: Die Bayessche Formel wird verwendet, um die a-priori-Wahrscheinlichkeit einer Ursache $A_j$ zu berechnen, nachdem ein Ereignis $E$ eingetreten ist.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Bayessche Formel ermöglicht die Berechnung der a-posteriori-Wahrscheinlichkeit $W(A_j/E)$, also der Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache $A_j$ eingetreten ist, wenn das Ereignis $E$ beobachtet wurde. Die a-priori-Wahrscheinlichkeit $W(A_j)$ ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit der Ursache vor Eintreten des Ereignisses $E$ und wird nicht durch die Formel berechnet, sondern ist ein Eingangswert.

Frage 2: Nach dem ersten Münzwurf mit dem Ergebnis „Wappen“ sinkt die Wahrscheinlichkeit von Franz' Hypothese, dass Fritz eine falsche Münze verwendet, von 0,8 auf 0,889.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit der Hypothese von Franz, Fritz spiele mit einer falschen Münze, erhöht sich nach dem ersten Wurf von 0,8 auf 0,889, sie sinkt nicht.

Frage 3: Welche Aussage beschreibt die A-priori- oder A-posteriori-Wahrscheinlichkeit korrekt gemäß den Grundlagen der Statistik?

A. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit W(A_j) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_j, nachdem ein Ereignis E eingetreten ist.

B. Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit W(A_j/E) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_j unter der Bedingung, dass das Ereignis E eingetreten ist.

C. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit wird auch als W(E/A_j) bezeichnet.

D. Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit W(E) ist die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit W(A_j / E) heißt a-posteriori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_j, was bedeutet, dass sie die Wahrscheinlichkeit von A_j ist, nachdem E eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit W(A_j) heißt im Gegensatz dazu die a-priori-Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit vor Berücksichtigung von E. W(E/A_j) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E gegeben A_j, nicht die A-priori-Wahrscheinlichkeit. W(E) ist die totale Wahrscheinlichkeit von E.

Frage 4: Ein fehlerhaftes Stück wird zufällig aus einer Tagesproduktion ausgewählt. Im Betrieb stellen drei Maschinen die Produkte her: Maschine M1 liefert 100 Stück mit 5 % Ausschussanteil, Maschine M2 400 Stück mit 4 % Ausschussanteil und Maschine M3 500 Stück mit 2 % Ausschussanteil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses fehlerhafte Stück von Maschine M1 gefertigt wurde?

A. 0,05

B. 0,16

C. 0,31

D. 0,52

Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das fehlerhafte Stück von Maschine M1 stammt, wird mithilfe des Theorems von Bayes berechnet. Zuerst wird die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Stück (W(E)) berechnet: W(E) = W(A1) * W(E/A1) + W(A2) * W(E/A2) + W(A3) * W(E/A3) = 0,1 * 0,05 + 0,4 * 0,04 + 0,5 * 0,02 = 0,005 + 0,016 + 0,010 = 0,031. Dann wird W(A1/E) berechnet als (W(A1) * W(E/A1)) / W(E) = (0,1 * 0,05) / 0,031 = 0,005 / 0,031 ≈ 0,16.

Frage 5: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die Ereignisse aus einem Ereignisraum auf reelle Zahlen abbildet.

A. Ano

B. Ne

Erklärung: Eine Zufallsvariable X wird explizit als eine Funktion (Abbildung) von einem Ereignisraum S in die reellen Zahlen definiert.