Karteikarten zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitstheorie & Zufallsvariablen einfach erklärt
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Stetige Zufallsvariable
6 Karten
Karte 1
Frage: Was ist die Verteilungsfunktion F einer stetigen Zufallsvariablen X formal definiert?
Antwort: F(x)=W(X\leqslant x).
Karte 2
Frage: Wie hängt die Wahrscheinlichkeitsdichte f mit der Verteilungsfunktion F zusammen?
Antwort: f ist die Ableitung von F, also f(x)=F'(x) und F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(v)\,dv.
Karte 3
Frage: Welche zwei grundlegenden Eigenschaften muss eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) erfüllen?
Antwort: 1) Positivität: f(x)\ge 0 für alle x. 2) Normiertheit: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
Karte 4
Frage: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X in einem Intervall [a,b] liegt?
Antwort: Durch das Integral der Dichte: W(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Karte 5
Frage: Gegeben: Dichte f(x)=0{,}5-0{,}125x für 0\le x\le 4 und 0 sonst. Wie groß ist W(1\le X\le 2)?
Antwort: W(1\le X\le 2)=\int_{1}^{2}(0{,}5-0{,}125x)\,dx = [0{,}5x-0{,}0625x^{2}]_{1}^{2}=0{,}3125.
Karte 6
Frage: Bei der gegebenen Dichte f(x)=0{,}5-0{,}125x auf [0,4] gilt f(x)=0 außerhalb. Was bedeutet das für Werte x<0 oder x>4?
Antwort: Für x<0 und x>4 ist f(x)=0, die Zufallsvariable hat dort keine Dichte (keine Wahrscheinlichkeit pro Einheit).