Karteikarten zu Maximum-Likelihood-Schätzung und numerische Methoden
Maximum-Likelihood-Schätzung & Numerische Methoden Erklärt
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Numerische Maximierung / Newton-Verfahren
11 Karten
Karte 1
Frage: Was ist das Ziel des Newton-Verfahrens in der numerischen Maximierung hier beschrieben?
Antwort: Die Nullstelle der Ableitung der Log-Likelihood (also das Maximum) iterativ zu approximieren, wenn sie nicht algebraisch gefunden werden kann.
Karte 2
Frage: Wie lautet die rekursive Aktualisierungsregel des eindimensionalen Newton-Verfahrens für die Schätzung θ̂?
Antwort: θ̂^(l+1)=θ̂^(l) - [d^2 ln L / dθ^2 (θ̂^(l))]^{-1} · [d ln L / dθ (θ̂^(l))].
Karte 3
Frage: Welche Funktion g(θ) wird im Vortrag als Zielnullstelle betrachtet und wie wird die Tangentenargumentation angewendet?
Antwort: g(θ)=d ln L(θ)/dθ. Man nähert sich der Nullstelle ausgehend von θ̂^(l) an, bildet die Tangente an g bei θ̂^(l) und verschiebt auf der Tangente um g(θ̂
Karte 4
Frage: Warum ist der Schritt um g(θ̂^(l))/g'(θ̂^(l)) sinnvoll beim Newton-Verfahren?
Antwort: Weil auf der Tangente eine Verschiebung um eine Einheit nach links einem sinken um g'(θ̂^(l)) entspricht, und mittels Dreisatz ergibt sich die notwend
Karte 5
Frage: Gilt die Tangentenargumentation auch für negative Werte von g(θ̂^(l)) oder g'(θ̂^(l))?
Antwort: Ja, die Argumentation ist auch für negative g(θ̂^(l)) und g'(θ̂^(l)) richtig.
Karte 6
Frage: Wann kann man die rekursive Berechnung des Newton-Verfahrens abbrechen?
Antwort: Wenn das Maximum ausreichend genau (hinreichend präzise) erreicht ist.
Karte 7
Frage: Welche zusätzlichen Ableitungen der Log-Likelihood werden für das Newton-Verfahren benötigt?
Antwort: Sowohl die erste Ableitung d ln L / dθ als auch die zweite Ableitung d^2 ln L / dθ^2.
Karte 8
Frage: Gebe die Formel für die zweite Ableitung der Log-Likelihood bei einer Binomialverteilung mit Stichprobenparametern x und n an.
Antwort: d^2 ln L / dθ^2 (θ̂) = - x / θ̂^2 - (n - x) / (1 - θ̂)^2.
Karte 9
Frage: Anhand des Beispiels: Mit n=1738 und x=1378, welcher ML-Schätzer des Anteils ergibt sich direkt (nur Ergebnis)?
Antwort: θ̂ = 1378 / 1738 = 0,793.
Karte 10
Frage: Im Beispiel mit Startwert θ̂^(0)=0,5: Wie groß sind d ln L / dθ(0,5) und d^2 ln L / dθ^2(0,5) (Zahlen aus der Präsentation)?
Antwort: d ln L / dθ(0,5) = 2036; d^2 ln L / dθ^2(0,5) = -6952.