Test na Vektory

Otázka 1: Pro vektory →a = (a₁, a₂, a₃) a →b = (b₁, b₂, b₃) je jejich rozdíl →a − →b souřadnicově vyjádřen jako (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃).

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Odčítání vektorů souřadnicově je definováno takto: →a − →b = →a + (−→b) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃). Tato formulace přímo odpovídá studijním materiálům.

Otázka 2: Mějme vektory →a = (2, 5, -1) a →b = (3, -2, 4). Který z následujících vektorů je jejich součtem →a + →b?

A. (5, 3, 3)

B. (-1, 7, -5)

C. (5, 7, 3)

D. (5, 3, 5)

Vysvětlení: Podle studijních materiálů se součet vektorů provádí souřadnicově tak, že se sčítají odpovídající souřadnice. Pro vektory →a = (a₁, a₂, a₃) a →b = (b₁, b₂, b₃) platí →a + →b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃). Pro dané vektory →a = (2, 5, -1) a →b = (3, -2, 4) je součet: →a + →b = (2 + 3, 5 + (-2), -1 + 4) = (5, 3, 3).

Otázka 3: Skalární součin dvou vektorů vždy vrací nový vektor.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Skalární součin vrací skalár (číslo), nikoli vektor. Vektorový součin vrací vektor.

Otázka 4: Vektorový součin dvou vektorů v trojrozměrném prostoru je operace, která jim přiřadí nový vektor, jenž je kolmý k oběma původním vektorům.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je vektorový součin operace, která 'dvěma vektorům v trojrozměrném prostoru přiřadí nový vektor' a 'výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům'.

Otázka 5: Která z následujících možností správně definuje skalární součin (bodový součin) dvou vektorů →a a →b?

A. →a · →b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

B. →a · →b = |→a| · |→b| · cos(φ), kde φ je úhel mezi vektory

C. →a × →b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

D. |→a × →b| = |→a| · |→b| · sin(φ), kde φ je úhel mezi vektory

Vysvětlení: Skalární součin je definován souřadnicově jako součet součinů odpovídajících si složek vektorů (→a · →b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃). Geometricky je skalární součin definován pomocí velikostí vektorů a kosinu úhlu mezi nimi (→a · →b = |→a| · |→b| · cos(φ)). Možnost 2 popisuje souřadnicovou definici vektorového součinu a možnost 3 popisuje velikost vektorového součinu, nikoli skalární součin.