Test na Tečna ke grafu a geometrický význam derivace

Otázka 1: Při limitním přechodu, kdy se bod Q blíží k bodu P, se sečna PQ postupně mění v normálu ke grafu funkce v bodě P.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů se při limitním přechodu, kdy se bod Q blíží k bodu P, sečna PQ postupně mění v tečnu ke grafu funkce v bodě P, nikoliv v normálu.

Otázka 2: Co platí o bodě x₀, ve kterém je derivace funkce f nulová (f′(x₀) = 0)?

A. Funkce f má v tomto bodě vždy lokální maximum.

B. Funkce f má v tomto bodě vždy lokální minimum.

C. Tečna ke grafu funkce f v tomto bodě je vodorovná a funkce v něm může mít lokální extrém.

D. Funkce f v tomto bodě vždy roste, ale extrém zde mít nemůže.

Vysvětlení: Pokud je derivace funkce f v bodě x₀ nulová (f′(x₀) = 0), tečna ke grafu funkce v tomto bodě je vodorovná. Takový bod se nazývá stacionární bod, ve kterém funkce může mít lokální extrém (maximum nebo minimum), ale nemusí ho mít vždy. Možnosti, že funkce má vždy lokální maximum nebo minimum, jsou nesprávné, protože záleží na změně znaménka derivace v okolí bodu. Možnost, že funkce v bodě s nulovou derivací vždy roste, je též nesprávná, protože v takovém bodě je sklon tečny nulový, což je opak růstu nebo klesání.

Otázka 3: Tečna se grafu funkce vždy dotýká pouze v jednom jediném bodě a nikdy jej nemůže protnout v jiném vzdálenějším bodě.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Tečna se sice grafu dotýká v jednom bodě lokálně, ale může se stát, že tečna protne graf funkce v jiném, vzdálenějším bodě. Důležité je, že v bodě dotyku má stejný sklon jako funkce.

Otázka 4: Pokud funkce f(x) klesá, je graf její derivace f′(x) pod osou x.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů, kde funkce f(x) klesá, tam je graf derivace f′(x) pod osou x, což znamená, že jeho hodnoty jsou záporné.

Otázka 5: Mějme funkci f(x) = x² − 3x + 2. Jaká je směrnice tečny ke grafu této funkce v bodě s x-ovou souřadnicí x₀ = 2?

A. Směrnice je 0.

B. Směrnice je 1.

C. Směrnice je 2.

D. Směrnice je -3.

Vysvětlení: Pro určení směrnice tečny je nejprve nutné spočítat derivaci funkce. Pro f(x) = x² − 3x + 2 je derivace f′(x) = 2x − 3. Poté dosadíme x-ovou souřadnici bodu dotyku (x₀ = 2) do derivace: f′(2) = 2·2 − 3 = 4 − 3 = 1. Směrnice tečny v bodě x₀ = 2 je tedy 1.