# Úvod do binární soustavy a aritmetiky Vítejte ve světě binární soustavy! Tato číselná soustava je naprosto základním stavebním kamenem všech moderních digitálních technologií, od chytrých telefonů po superpočítače. Zatímco v každodenním životě jsme zvyklí pracovat s desítkovou soustavou, počítače "myslí" v jedničkách a nulách. Pochopení binární soustavy a základních aritmetických operací v ní je klíčové pro každého, kdo se chce ponořit do informatiky nebo číslicové techniky. ## Co je binární soustava? Binární soustava, neboli dvojková soustava, je poziční číselná soustava, která pro reprezentaci hodnot používá pouhé dvě číslice: $\mathbf{0}$ a $\mathbf{1}$. Její **základ** je $\mathbf{2}$, na rozdíl od naší běžné desítkové soustavy, která má základ $10$ (číslice $0-9$). > **Základ soustavy** definuje počet unikátních symbolů (číslic), které jsou v dané soustavě k dispozici pro zápis čísel. Proč zrovna binární soustava? Důvod je ryze praktický. Elektrické obvody v počítačích snadno rozlišují dva stavy: například zapnuto/vypnuto, vysoké napětí/nízké napětí, světlo svítí/nesvítí. Tyto dva stavy jsou perfektně mapovány na číslice $1$ a $0$. To umožňuje počítačům provádět složité operace s neuvěřitelnou rychlostí a spolehlivostí. ## Základní pravidla sčítání binárních čísel Sčítání v binární soustavě se řídí stejnými principy jako sčítání v desítkové soustavě, ale s omezeným počtem symbolů. Hlavní rozdíl spočívá v tom, kdy dochází k "přenosu" (carry) do vyššího řádu. Základní pravidla pro sčítání dvou binárních číslic jsou: 1. $0 + 0 = 0$ 2. $0 + 1 = 1$ 3. $1 + 0 = 1$ 4. $1 + 1 = 10_2$ (čte se jako "jedna nula ve dvojkové soustavě"). Toto odpovídá desítkové hodnotě $2$. Zde nastává **přenos** ($1$) do vyššího řádu, stejně jako když v desítkové soustavě sčítáme $5 + 5 = 10$, kde $0$ zůstane a $1$ se přenese. Pokud sčítáme tři jedničky (což se stane, když sčítáme $1$ a $1$ a k tomu přičítáme přenos z předchozího řádu), platí: 5. $1 + 1 + 1 = 11_2$ (čte se jako "jedna jedna ve dvojkové soustavě"). Toto odpovídá desítkové hodnotě $3$. Také zde dojde k přenosu ($1$) do vyššího řádu. > **Přenos (carry)** je hodnota, která se přičítá k následujícímu vyššímu řádu, pokud součet číslic v aktuálním řádu překročí maximální hodnotu, kterou lze v daném řádu vyjádřit (v binární soustavě je to $1$). Zajímavost: Každá pozice v binárním čísle reprezentuje mocninu dvojky. Nejpravější číslice ($bit_0$) reprezentuje $2^0 = 1$, další vlevo ($bit_1$) reprezentuje $2^1 = 2$, a tak dále. Proto se $10_2$ rovná $1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2_{10}$. ## Sčítání binárních čísel pod sebou Pro sčítání víceciferných binárních čísel se používá metoda sčítání pod sebou, která je analogická s desítkovým sčítáním. Čísla se zarovnají podle nejnižšího řádu (nejpravější číslice) a sčítají se sloupec po sloupci zprava doleva. ### Příklad sčítání 8bitových čísel Pojďme sečíst dvě 8bitová binární čísla: $01010110_2$ (desítkově $86$) a $00111001_2$ (desítkově $57$). $$01010110_2 \quad (86_{10})$$ $$+ \quad 00111001_2 \quad (57_{10})$$ $$\text{-----------}$$ **Postup sčítání po sloupcích zprava doleva:** 1. **Nejnižší řád (bit 0):** $0 + 1 = 1$. Součet je $1$, přenos je $0$. 2. **Bit 1:** $1 + 0 = 1$. Součet je $1$, přenos je $0$. 3. **Bit 2:** $1 + 0 = 1$. Součet je $1$, přenos je $0$. 4. **Bit 3:** $0 + 1 = 1$. Součet je $1$, přenos je $0$. 5. **Bit 4:** $1 + 1 = 10_2$. Součet je $0$, přenos je $1$. 6. **Bit 5:** $0 + 1 + 1$ (přenos) $= 10_2$. Součet je $0$, přenos je $1$. 7. **Bit 6:** $1 + 0 + 1$ (přenos) $= 10_2$. Součet je $0$, přenos je $1$. 8. **Bit 7 (nejvyšší řád):** $0 + 0 + 1$ (přenos) $= 1$. Součet je $1$, přenos je $0$. **Výsledek:** $$\quad \quad \quad \quad ^1{^1}{^1}{^1} \quad \text{(přenosy)}$$ $$\quad 01010110_2$$ $$+ \quad 00111001_2$$ $$\text{-----------}$$ $$10001111_2$$ **Kontrola v desítkové soustavě:** $86 + 57 = 143$. Převedeme $10001111_2$ do desítkové soustavy: $$1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cd