Shrnutí na Pokročilé statistické metody

## Úvod Časové řady jsou sekvence hodnot uspořádané podle času, které popisují vývoj sledovaného jevu v čase. Tento materiál shrnuje základní pojmy, typy časových řad, měry dynamiky, dekompozici, metody odhadu trendu a sezónnosti, vyrovnávání a kritéria hodnocení modelů. > Definice: Časová řada $y_t$ je posloupnost hodnot sledovaného ukazatele, která je jednoznačně uspořádaná z hlediska času. ## Základní rozdělení časových řad ### Podle vztahu k časové ose - **Intervalové**: hodnoty za určitý interval (např. měsíční tržby).\ - **Okamžikové**: hodnoty v konkrétním okamžiku (např. počet obyvatel k 1.1.). > Poznámka: Cokoliv, co má známé přiřazení k časové ose, lze označit jako časovou řadu. ### Podle povahy veličin - **Tokové veličiny**: měří množství v intervalu (např. zisk, náklady).\ - **Stavové veličiny**: měří stav ke konkrétnímu okamžiku (např. počet obyvatel, míra nezaměstnanosti). ### Podle periodicity - **Krátkodobé**: periodicita mezi záznamy je kratší než 1 rok (např. měsíční, čtvrtletní).\ - **Dlouhodobé**: periodicita je $\\geq 1$ rok (např. roční data). | Kritérium | Krátkodobé | Dlouhodobé | |---|---:|---:| | Perioda | < 1 rok | $\geq 1$ rok | | Typické složky | sezónnost, trend, cyklus, náhodnost | trend, cyklus, náhodnost | ## Měření střední hodnoty časové řady - Intervalové řady: použijeme aritmetický průměr.\ - Okamžikové řady: použijeme chronologický průměr (vážený podle délky intervalů, pokud se liší, např. různé počty dnů v měsících). > Definice: Chronologický průměr bere v úvahu různé časové délky mezi záznamy a váží hodnoty podle délky intervalu. ## Základní míry dynamiky - **První diference (absolutní přírůstek)**: $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$.\ - **Průměrná první diference**: aritmetický průměr $\Delta y_t$.\ - **Koeficient růstu**: $g_t = \dfrac{y_t}{y_{t-1}}$.\ - **Průměrný koeficient růstu**: geometrický průměr koeficientů růstu.\ - **Relativní přírůstek (v \% )**: $r_t = g_t - 1 = \dfrac{y_t - y_{t-1}}{y_{t-1}}$.\ - **Průměrný relativní přírůstek**: průměr relativních přírůstků (buď aritmetický nebo geometrický podle kontextu). - **Bazický index**: porovnání vůči fixní bázi (pořád stejné období srovnání).\ - **Řetězový index**: porovnání po sobě jdoucích období (proměnlivý jmenovatel). Fun fact: Koeficient růstu je vždy řetězový index, ale řetězový index nemusí být koeficient růstu, pokud se jmenovatel liší od přímého předchozího období. ### Vztahy mezi indexy - Bazický index k období $t$ lze získat postupným násobením řetězových indexů od počátku: $$I_{0,t} = \prod_{k=1}^{t} g_k.$$\ - Řetězové indexy lze získat dělením po sobě jdoucích bazických indexů: $$g_t = \dfrac{I_{0,t}}{I_{0,t-1}}.$$ ## Dekompozice časové řady Časovou řadu často modelujeme jako součet či součin komponent: - **Aditivní model**: $y_t = T_t + S_t + C_t + e_t$, kde $T_t$ = trend, $S_t$ = sezónnost, $C_t$ = cyklická složka, $e_t$ = náhodná složka.\ - **Multiplikativní model**: $y_t = T_t \cdot S_t \cdot C_t \cdot e_t$ (sezónnost a cyklus relativní k trendu). > Definice: Dekompozice je rozklad časové řady na jednotlivé složky tak, aby každá složka měla samostatný charakter a bylo možné ji lépe modelovat. Složky: - Trendová složka: dlouhodobý směr v datech.\ - Sezónní složka: pravidelné fluktuace kratší než 1 rok (pouze v krátkodobých řadách).\ - Cyklická složka: nepravidelné, obvykle delší perioda než 1 rok.\ - Nesystematická složka: náhodné odchylky bez systematického charakteru. | Model | Jednotky složek | Kdy použít | |---|---:|---| | Aditivní | stejná jednotka jako $y_t$ | když amplituda sezónnosti je nezávislá na úrovni trendu | | Multiplikativní | relativní složky | když amplituda sezónnosti roste s úrovní trendu | ## Odhad trendu Trend modelujeme jako funkci času. Základní tvary trendu: - Lineární: $$T_t = a + bt$$ - Kvadratický: $$T_t = a + bt + ct^2$$ - Exponenciální: $$T_t = a \cdot b^t$$ - Logaritmický: $$T_t = a + b \log t$$ - Hyperbolický: $$T_t = \dfrac{a}{t + b}$$ Metody odhadu parametrů trendu