Test na Násobení vektoru číslem a kolineárnost

Otázka 1: Násobením nenulového vektoru libovolným nenulovým skalárem se vždy změní jeho velikost.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Velikost vektoru se nemusí změnit, pokud je absolutní hodnota skaláru rovna jedné (tj. |k|=1). V takovém případě zůstává velikost vektoru stejná, jak je uvedeno v materiálech: 'Pokud je |k| = 1, velikost vektoru zůstává stejná.'

Otázka 2: Dva nenulové vektory a a b jsou kolineární, právě když existuje reálné číslo k, pro které platí b = k·a.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů jsou dva nenulové vektory a a b kolineární právě tehdy, když existuje skalár k (reálné číslo), že platí b = k·a.

Otázka 3: Které z následujících tvrzení správně popisuje vlastnost distributivity násobení vektoru skalárem podle uvedených studijních materiálů?

A. Pro libovolný skalár k a vektory a, b platí k·(a + b) = k·a + k·b.

B. Pro libovolné skaláry k, l a vektor a platí (k + l)·a = k·a + l·a.

C. Pro libovolný skalár k a vektory a, b platí k·(a + b) = k·a + b.

D. Pro libovolné skaláry k, l a vektor a platí (k·l)·a = k·a + l·a.

Vysvětlení: Studijní materiály uvádějí dvě vlastnosti distributivity pro násobení vektoru skalárem: 1. Distributivita vzhledem ke sčítání vektorů: k·(a + b) = k·a + k·b. To odpovídá první možnosti. 2. Distributivita vzhledem ke sčítání skalárů: (k + l)·a = k·a + l·a. To odpovídá druhé možnosti. Třetí možnost k·(a + b) = k·a + b je chybná, protože skalár k musí být distribuován k oběma vektorům ve sčítání. Čtvrtá možnost (k·l)·a = k·a + l·a je chybná; správná vlastnost asociativity je (k·l)·a = k·(l·a).

Otázka 4: Mějme vektor a = (5, 2) a skalár k = -2. Jaký je výsledný vektor k·a?

A. (-10, -4)

B. (10, 4)

C. (-10, 2)

D. (5, -4)

Vysvětlení: Podle studijních materiálů se násobení vektoru skalárem provádí tak, že se každá souřadnice vektoru vynásobí daným skalárem. Pro vektor a = (a₁, a₂) a skalár k platí k·a = (k·a₁, k·a₂). V našem případě je vektor a = (5, 2) a skalár k = -2. Proto k·a = (-2·5, -2·2) = (-10, -4).

Otázka 5: Při určování kolinearity vektorů a = (2, 3) a b = (4, 6) se skalár k pro obě souřadnice shodně vypočítá jako k = 2.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je pro vektory a = (2, 3) a b = (4, 6) hledán skalár k tak, aby 4 = k·2 a 6 = k·3. Z obou rovnic plyne k = 2, což znamená, že skalár je shodný pro všechny souřadnice.