# Lorentzova síla a pohyb částic v magnetickém poli V předchozích materiálech jsme se seznámili se základními principy Lorentzovy síly, která působí na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli. Nyní se detailněji podíváme na konkrétní projevy a důsledky této síly, zejména na charakter pohybu částic, výpočty dráhy a doby oběhu, a také na její praktické využití. Lorentzova síla je jedinečná v tom, že nemění velikost rychlosti, pouze její směr. To znamená, že nevykonává práci a nemění kinetickou energii částice. Místo toho způsobuje zakřivení dráhy, což je klíčové pro mnoho jevů v přírodě i technice, od chování plazmatu až po fungování urychlovačů částic. ## Poloměr kruhové dráhy a perioda oběhu Když se nabitá částice pohybuje kolmo k homogennímu magnetickému poli, Lorentzova síla působí neustále jako dostředivá síla, která částici nutí k pohybu po kružnici. Z rovnosti Lorentzovy a dostředivé síly můžeme odvodit důležité vztahy. > ### Vztah pro poloměr dráhy > Pro pohyb nabité částice v magnetickém poli, kde Lorentzova síla působí jako dostředivá síla, platí vztah: > $$F_L = F_D$$ > kde $F_L = |q| v B$ (pro $alpha = 90^circ$) a $F_D = \frac{m v^2}{r}$. > Z toho plyne: > $$|q| v B = \frac{m v^2}{r}$$ > a vyjádřením poloměru $r$ dostaneme: > $$r = \frac{m v}{|q| B}$$ Z tohoto vzorce je patrné, že **poloměr dráhy** je přímo úměrný hmotnosti ($m$) a rychlosti ($v$) částice a nepřímo úměrný velikosti náboje ($|q|$) a magnetické indukci ($B$). Čím větší je hybnost ($m \cdot v$) částice, tím větší je poloměr dráhy. Čím silnější je magnetické pole nebo čím větší je náboj, tím menší je poloměr dráhy. ### Perioda oběhu **Perioda oběhu $T$** je doba, za kterou částice vykoná jeden úplný kruhový oběh. Délka kruhové dráhy je $2\pi r$. Vzhledem k tomu, že velikost rychlosti $v$ je konstantní, můžeme periodu vypočítat jako: $$T = \frac{\text{délka dráhy}}{\text{rychlost}} = \frac{2\pi r}{v}$$ Dosadíme-li za $r$ výraz, který jsme odvodili: $$T = \frac{2\pi \cdot (m \cdot v / (|q| \cdot B))}{v}$$ Po zkrácení rychlosti $v$ dostaneme vzorec pro periodu oběhu: $$T = \frac{2\pi m}{|q| \cdot B}$$ Zajímavé je, že perioda oběhu $T$ nezávisí na rychlosti částice ani na poloměru dráhy. Závisí pouze na hmotnosti částice, jejím náboji a magnetické indukci. To je klíčová vlastnost využívaná například v cyklotronech. Did you know: Cyklotrony jsou urychlovače částic, které využívají konstantní periodu oběhu k synchronizaci přiváděného střídavého elektrického pole, které opakovaně urychluje částice. Pokud rychlost částice není kolmá na magnetické pole, ale svírá s ním určitý úhel, pak se pohyb částice rozloží na dvě složky: jednu rovnoběžnou s polem (na kterou nepůsobí síla) a jednu kolmou na pole (na kterou působí Lorentzova síla). Výsledkem je **šroubovicová dráha**, kde se částice pohybuje po kružnici a zároveň se posouvá podél siločar magnetického pole. ### Příklad výpočtu Představme si elektron (náboj $q = -1,602 \cdot 10^{-19}\, \text{C}$, hmotnost $m = 9,109 \cdot 10^{-31}\, \text{kg}$), který vstupuje do homogenního magnetického pole o magnetické indukci $B = 0,5\, \text{T}$ rychlostí $v = 2,0 \cdot 10^6\, \text{m/s}$ kolmo na směr pole. **1. Výpočet velikosti Lorentzovy síly:** Protože je rychlost kolmá na magnetické pole ($\sin(90^\circ) = 1$), použijeme zjednodušený vzorec: $$F = |q| \cdot v \cdot B$$ $$F = |-1,602 \cdot 10^{-19}\, \text{C}| \cdot 2,0 \cdot 10^6\, \text{m/s} \cdot 0,5\, \text{T}$$ $$F = 1,602 \cdot 10^{-19} \cdot 2,0 \cdot 10^6 \cdot 0,5\, \text{N}$$ $$F = 1,602 \cdot 10^{-13}\, \text{N}$$ Na elektron působí síla o velikosti přibližně $1,6 \cdot 10^{-13}\, \text{N}$. **2. Výpočet poloměru kruhové dráhy:** $$r = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B}$$ $$r = \frac{(9,109 \cdot 10^{-31}\, \text{kg} \cdot 2,0 \cdot 10^6\, \text{m/s})}{|-1,602 \cdot 10^{-19}\, \text{C}| \cdot 0,5\, \text{T}}$$ $$r = \frac{1,8218 \cdot 10^{-24}}{0,801 \cdot 10^{-19}}\, \text{m}$$ $$r \approx 2,27 \cdot 10^{-5}\, \text{m} = 22,7\, \mu\text{m}