Test na Jak z grafu funkce poznat graf derivace

Otázka 1: Má derivace funkce f'(x) v inflexním bodě funkce f(x) obvykle lokální extrém?

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: V inflexním bodě funkce f(x) se mění její konvexnost na konkávnost nebo naopak, a v tomto bodě má derivace f'(x) obvykle lokální extrém (maximum nebo minimum).

Otázka 2: Pro lineární funkci f(x) = ax + b, kde a ≠ 0, platí o grafu její derivace f'(x) následující tvrzení. Vyberte správné tvrzení:

A. Graf derivace f'(x) protíná osu x v bodě, kde má funkce f(x) lokální extrém.

B. Graf derivace f'(x) je vodorovná přímka y = a.

C. Pokud je a > 0, graf f'(x) leží nad osou x.

D. Graf derivace f'(x) je přímka s nenulovou směrnicí.

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je graf derivace lineární funkce f(x) = ax + b vodorovná přímka y = a. Dále, pokud je a > 0, pak graf f'(x) leží nad osou x. Lineární funkce (s a ≠ 0) nemá lokální extrémy, takže její derivace neprotíná osu x. Graf f'(x) je vodorovná přímka, což znamená, že má nulovou směrnici.

Otázka 3: Pokud je funkce f(x) konkávní, znamená to, že její první derivace f'(x) roste.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů konvexnost f(x) znamená, že f'(x) roste, a konkávnost f(x) znamená, že f'(x) klesá.

Otázka 4: Pokud je funkce f(x) konvexní, pak její první derivace f'(x) klesá.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů konvexnost funkce f(x) znamená, že její první derivace f'(x) roste, nikoliv klesá.

Otázka 5: Co odpovídají nulovým bodům derivace kubické funkce f(x)?

A. Inflexní bod funkce f(x).

B. Lokální extrémy funkce f(x).

C. Nulové body samotné funkce f(x).

D. Vrchol paraboly f(x).

Vysvětlení: Studijní materiály uvádějí: 'Nulové body této paraboly [f'(x)] odpovídají lokálním extrémům kubické funkce.' V příkladu je pak ukázáno, že f'(x) = 0 pro x = ±1, což jsou lokální extrémy funkce f(x).