Shrnutí na Difrakce ve vlnové optice

## Úvod Tato učební pomůcka shrnuje klíčové koncepty interference a související aplikace optických mřížek, dvojštěrbin a ohnisek z kruhových otvorů. Materiál je určen pro samostudium a rozdělí složité jevy na přehledné části s příklady a praktickým využitím. > **Definice:** Interference je superpozice dvou nebo více koherentních vln vedoucí k zesílení nebo zrušení výsledné intenzity. ## Základní pojmy ### Interference na dvou štěrbinách (Youngův experiment) - Dva hlavní členy v intenzitě výsledného pole jsou **interferenční člen** a **difrakční člen**. V obecné formě intenzity mívá tvar součinu těchto dvou příspěvků. - Pro velmi tenké štěrbiny ($a \to 0$) převládá interferenční chování: centrální obálka difrakce je velmi široká a pozorujeme čistě interferenční proužky. - Pokud se štěrbiny sbližují ($d \to 0$), zesílí se difrakční efekt a systém se chová jako jedna širší štěrbina. > **Definice:** Difrakční obálka je souvislé rozložení intenzity způsobené šířkou štěrbiny; interferenční proužky jsou jemné maxima uvnitř této obálky. ### Otázky k dvouštěrbinovému obrazu (příklad z HRW) - a) Kolik interferenčních proužků je uvnitř centrálního proužku difrakční obálky? (záleží na poměru $d/a$ a počtu viditelných interferenčních maxim, viz níže) - b) Kolik interferenčních proužků je v oblasti vymezené prvními vedlejšími proužky difrakční obálky? (opět závisí na poměru $d/a$) ### Difrakční mřížky - Pro velký počet $N$ štěrbin jsou interferenční maxima velmi ostrá; jejich šířka je mnohem menší než u dvojštěrbiny. - Poloha hlavních interferenčních maxim je dána podmínkou $$\sin\theta = m\frac{\lambda}{d},$$ kde $m$ je řád maxima, $d$ je mřížková konstanta (vzdálenost sousedních štěrbin) a $\lambda$ je vlnová délka. > **Definice:** Mřížková konstanta $d$ je vzdálenost mezi středy dvou sousedních štěrbin; rozlišení mřížky roste s počtem $N$ a délkou mřížky $w$ podle $w = Nd$. #### Praktický příklad - Difrakční mřížka o šířce $10{,}0\ \mathrm{mm}$ má $10\,000$ rovnoběžných štěrbin. Monochromatické světlo dopadající kolmo je v prvním řádu odchýleno o $30^\circ$. Vlnová délka je dána z $$\sin 30^\circ = 1\cdot\frac{\lambda}{d}$$ - Z toho $\lambda = d\sin 30^\circ$. Pokud je počet štěrbin $10\,000$ na šířku $10{,}0\ \mathrm{mm}$, pak $d = 10{,}0\ \mathrm{mm}/10\,000 = 1{,}0\ \mu\mathrm{m}$ a $\lambda = 1{,}0\ \mu\mathrm{m} \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \mu\mathrm{m} = 500\ \mathrm{nm}$. > **Did you know that** difrakční mřížky rozkládají bílé světlo na jednotlivé vlnové délky tím, že různé vlnové délky jsou difrakovány do různých úhlů, přičemž centrální maximum zůstává bílé? ### Užití difrakční mřížky - Spektrální analýza a měření vlnových délek - Oddělení emisních čar (např. vodík, helium) a jejich identifikace ## Difrakce na kruhovém otvoru (Airyho obrazec) - Obraz bodového zdroje projde-li kruhovou clonou má tvar tzv. Airyho obrazce: ústřední jasný disk (Airyho disk) obklopený soustavou soustředných kroužků. - Poloha prvního minima pro otvor průměru $d$ je dána rovnicí $$\sin\theta_1 = 1{,}22\frac{\lambda}{d}.$$ Pro malé úhly lze použít aproximaci $\theta_R \approx 1{,}22\frac{\lambda}{d}$. > **Definice:** Airyho disk je střední jasný kruh v difrakčním obrazci kruhového otvoru; jeho úhlový poloměr dán Rayleighovým kritériem $\theta_R = 1{,}22\frac{\lambda}{d}$. ### Rayleighovo kritérium rozlišitelnosti - Dva body jsou podle Rayleighova kritéria právě rozlišitelné, jestliže maximum jednoho spadá do minima druhého. Minimální úhlová vzdálenost je $$\theta_R = 1{,}22\frac{\lambda}{d}.$$ - Příklady pro typická zařízení: - Lidské oko ($d\approx 3\ \mathrm{mm}$): $\theta\approx 0{,}76'$ (přibližně 1 úhlová minuta) - Amatérský dalekohled ($d\approx 80\ \mathrm{mm}$): $\theta\approx 1{,}7''$ - Profesionální teleskop ($d\approx 10\ \mathrm{m}$): $\theta\approx 0{,}014''$ (v praxi limitováno atmosférou) > **Fun fact:** Věděli jste, že i když je astronomický teleskop velký, hranicí jeho rozlišovací schopnosti často není velikost zrcadla, ale