Shrnutí na Analýza elektrických obvodů a dimenzování

## Úvod Tento materiál vysvětluje chování ideální cívky a ideálního kondenzátoru ve střídavém obvodu. Zaměříme se na fázové posuny mezi napětím a proudem, definice reaktancí a susceptancí a praktické aplikace. Materiál je určen pro samostudium (Not attending student) a klade důraz na přehledné rozdělení látky a praktické příklady. ## Obsah 1. Ideální cívka 2. Indukční reaktance a susceptance 3. Ideální kondenzátor 4. Kapacitní reaktance a susceptance 5. Impedance a admittance 6. Příklady a aplikace 7. Shrnutí ## 1. Ideální cívka ### Co je ideální cívka > Ideální cívka je cívka charakterizovaná pouze svojí indukčností $L$, přičemž její ohmický odpor je zanedbatelný. - V ideální cívce neuvažujeme odpor drátu; pokud je odpor nenulový, modelujeme cívku jako sérii ideální indukčnosti a rezistoru $R$. - Střídavý proud v cívce vytváří proměnné magnetické pole, které indukuje napětí podle Lenzova zákona a tím brání změnám proudu. ### Fázový vztah mezi napětím a proudem - Napětí napředí proud o čtvrt periodu. To znamená fázový posun $\\varphi = +\\frac{\\pi}{2}$. Pro okamžitou hodnotu proudu platí: $$i = I_{m}\\sin\\left(\\omega t - \\frac{\\pi}{2}\\right) = -I_{m}\\cos\\omega t$$ Did you know že v ideální cívce je proud zpožděn za napětím právě o $\\frac{\\pi}{2}$, což znamená, že když je napětí maximální, instantní změna proudu je nulová? ## 2. Indukční reaktance a susceptance ### Indukční reaktance - Indukční reaktance $X_{L}$ je „zdánlivý odpor" cívky ve střídavém obvodu definovaný jako poměr amplitud napětí a proudu: $$X_{L} = \\frac{U_{m}}{I_{m}}$$ - Z experimentu plyne vztah: $$X_{L} = \\omega L$$ - Jednotka: $\\Omega$. ### Indukční susceptance > Indukční susceptance $B_{L}$ je převrácená hodnota indukční reaktance a udává zdánlivou vodivost magnetické části cívky. $$B_{L} = \\frac{1}{\\omega \\cdot L}$$ Jednotka: siemens $S$. ### Vlastnosti - $X_{L}$ roste úměrně s frekvencí $\\omega$ a s indukčností $L$. - Cívka nevyzařuje energii jako teplo (ideálně) – energie se pouze dočasně ukládá v magnetickém poli. ## 3. Ideální kondenzátor ### Co je ideální kondenzátor > Ideální kondenzátor je elektrický prvek charakterizovaný kapacitou $C$, u kterého mezi deskami neprochází vodivostní proud; mění se pouze elektrické pole a polarizace dielektrika. - Kondenzátor se ve střídavém obvodu periodicky nabíjí a vybíjí. - Proud je největší, když je napětí na kondenzátoru nulové; proud je nulový, když je napětí maximální. ### Fázový vztah mezi napětím a proudem - Napětí zaostává za proudem o $\\frac{\\pi}{2}$ (tj. proud předstihuje napětí). Fázový rozdíl je $\\varphi = -\\frac{\\pi}{2}$. Pro okamžitou hodnotu proudu platí: $$i = I_{m}\\sin\\left(\\omega t + \\frac{\\pi}{2}\\right) = I_{m}\\cos\\omega t$$ Věděli jste, že kapacitor v obvodu střídavého proudu může sloužit jako filtrační prvek, protože jeho reaktance klesá s rostoucí frekvencí, a proto propouští vysoké kmitočty snadněji než nízké? ## 4. Kapacitní reaktance a susceptance ### Kapacitní reaktance - Kapacitní reaktance $X_{C}$ je definována jako poměr amplitud napětí a proudu: $$X_{C} = \\frac{U_{m}}{I_{m}}$$ - Vztah závislosti na frekvenci a kapacitě: $$X_{C} = \\frac{1}{\\omega C}$$ - Jednotka: $\\Omega$. ### Kapacitní susceptance > Kapacitní susceptance $B_{C}$ je převrácená hodnota kapacitní reaktance a udává zdánlivou vodivost kondenzátoru. $$B_{C} = \\omega \\cdot C$$ Jednotka: siemens $S$. ### Vlastnosti - $X_{C}$ klesá s rostoucí frekvencí a s rostoucí kapacitou. - Kondenzátor v ideálním případě nevytváří ztráty v podobě tepla; energie se ukládá v elektrickém poli. ## 5. Impedance a admittance - Celkový odpor střídavého obvodu nazýváme **impedance** $Z$: $$Z = \\frac{U}{I}$$ - Převrácená hodnota impedance je **admittance** $Y$: $$Y = \\frac{1}{Z}$$ Tabulka: srovnání rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru | Prvek | Vztah napětí a proudu (fáze) | Reaktance | Susceptance | |---|---:|---:|---:| | Rezistor $R$ | napětí ve fázi s proudem | $X_{R} = R$ |