Shrnutí na Problemes de Mecànica de Fluids

## Introducció La hidrostàtica i el bombament de fluids estudien com actuen la pressió i la gravetat en líquids en repòs i com es transporten per canonades mitjançant equips de bombeig. Aquest material explica conceptes clau, fórmules fonamentals i exemples pràctics resolts per aprendre a aplicar les equacions a situacions reals. > **Definició:** La hidrostàtica és la branca de la física que descriu l'equilibri dels fluids en repòs i la relació entre pressió, densitat i alçada. El bombament de fluids tracta del moviment forçat de líquids a través d'instal·lacions utilitzant bombes i del càlcul d'energia requerida. ## Conceptes bàsics ### Pressió hidrostàtica La pressió hidrostàtica a una profunditat o alçada d'una columna de líquid depèn de la densitat del líquid, la gravetat i l'alçària de la columna. - Fórmula bàsica (display): $$p = p_0 + \rho g h$$ on $p$ és la pressió absoluta, $p_0$ la pressió de referència (per exemple atmosferica), $\rho$ la densitat, $g$ l'acceleració de la gravetat i $h$ l'alçada de la columna. > **Definició:** Densitat $\rho$ és la massa per unitat de volum del fluid, expressada en kg/m^3 o g/cm^3. ### Equilibri en tubs en U Quan dos líquids immiscibles o dues solucions diferents s'equilibren en un tub en U obert, la pressió a la interfase comuna és la mateixa per ambdues branques. Això permet relacionar alçades i densitats: $$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$$ Simplificant $g$: $$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$$ Aquesta equació és la base per als problemes 1–4. ### Unitat i conversió - Vigila les unitats: passa sempre densitats a la mateixa unitat, per exemple $\text{kg/m}^3$. Convertir $\text{g/cm}^3$ a $\text{kg/m}^3$ implica multiplicar per $1000$. - Longituds: $1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}$, $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$. > **Definició:** Nombre de Reynolds $Re$ és una magnitud adimensional que indica el règim d'escoament: $Re = \dfrac{\rho v D}{\mu}$, on $v$ és la velocitat, $D$ el diàmetre característic i $\mu$ la viscositat dinàmica. ## Règims d'escoament i nombre de Reynolds - Re < 2000: règim laminar - 2000 ≤ Re ≤ 4000: zona de transició - Re > 4000: règim turbulent Fórmula amb viscositat cinemàtica $\nu$ (m^2/s): $$Re = \dfrac{v D}{\nu}$$ > **Definició:** Viscositat cinemàtica $\nu = \dfrac{\mu}{\rho}$, on $\mu$ és la viscositat dinàmica (Pa·s). ## Equacions per bombament de fluids ### Energia requerida i potència de la bomba - Energia per unitat de massa per elevar a una altura total $H$ és $gH$. - Potència hidràulica requerida: $$P_{hid} = \rho g Q H$$ on $Q$ és el cabal en m^3/s. Si la bomba té un rendiment $\eta$, la potència elèctrica necessària és: $$P_{el} = \dfrac{P_{hid}}{\eta} = \dfrac{\rho g Q H}{\eta}$$ Converteix cabal: $1\ \text{L/min} = 1.6667\times10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}$. ### Pèrdua de càrrega per fricció (Hagen-Poiseuille per flux laminar) Per flux laminar en un tub: $$\Delta p = \dfrac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$$ i la pèrdua de càrrega lineal en metres de columna de fluid (amb pes específic $\gamma = \rho g$) és $$H_L = \dfrac{\Delta p}{\rho g}$$ ## Taula: comparació de conceptes relacionats | Concepte | Fórmula clau | Unitat típica | Observació | |---|---:|---|---| | Pressió hidrostàtica | $p = p_0 + \rho g h$ | Pa | Depèn de $\rho$ i $h$ | | Equilibri tubs en U | $\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$ | kg/m^3·m | Sense $g$ si ambdues branques tenen misma interfase | | Nombre de Reynolds | $Re = \dfrac{\rho v D}{\mu}$ | adimensional | Classifica règim d'escoament | | Potència bomba | $P_{el} = \dfrac{\rho g Q H}{\eta}$ | W | Inclou rendiment $\eta$ | | Hagen-Poiseuille | $\Delta p = \dfrac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$ | Pa | Vàlid per flux laminar | ## Exemples pràctics resolts (basats en els problemes donats) Per cada exemple es mostra l'enunciat resumit i el procediment breu. 1) Tub en U amb densitats diferents - Enunciat: Una branca té $\rho_1 = 1100\ \text{kg/m}^3$ i altura $h_1$ desconeguda. L'altra té densitat $\rho_2 = 0.88\ \text{g/cm}^3 = 880\ \text{kg/m}^3$ i