Vektory
Vektory je bezplatná interaktívna simulácia zo StudyFi Lab. Beží priamo v prehliadači, bez registrácie a bez inštalácie.
Sčítaj, násob a skúmaj vektory v 2D aj 3D
Pokusy
Základy
Vektor má veľkosť a smer. Zapisujeme ho súradnicami a = (a₁; a₂; a₃) alebo pomocou jednotkových vektorov osí ako a = a₁i + a₂j + a₃k. Veľkosť vypočítame Pytagorovou vetou |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) a jednotkový vektor â = a / |a| má rovnaký smer a dĺžku 1. Vektor z bodu A do bodu B je rozdiel B − A.
Vyskúšaj: Potiahni špičku vektora na (3; 4) a over, že |a| = 5. Potom zapni „Z dvoch bodov“ a posuň oba body o rovnaký kus – vektor sa nezmení.
Sčítanie vektorov
Vektory sčítame po zložkách: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficky prenesieme b na koniec a (trojuholníkové pravidlo), alebo z oboch vektorov zostavíme rovnobežník a súčet je jeho uhlopriečka. Rozdiel a − b je súčet a + (−b), teda vektor, ktorý vedie z konca b do konca a.
Vyskúšaj: Stlač „Preniesť b na koniec a“ a sleduj, ako vznikne trojuholník. Potom prepni na rovnobežník a nastav b = −a: súčet je nulový vektor.
Násobok vektora
Násobok k·a vynásobí každú zložku číslom k, takže leží na rovnakej priamke ako a – vektory sú kolineárne. Veľkosť sa zmení na |k|·|a|. Pre k > 0 zostáva smer rovnaký, pre k < 0 sa otočí na opačný a pre k = 0 vznikne nulový vektor.
Vyskúšaj: Posuň k z 2 na −2 a sleduj, ako sa šípka preklopí cez začiatok, zatiaľ čo jej dĺžka zostane rovnaká.
Skalárny súčin
Skalárny súčin je číslo: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Keď vektory zvierajú ostrý uhol, je kladný, pri pravom uhle je nulový a pri tupom záporný – preto podmienka a·b = 0 znamená kolmosť. Priemet b do smeru a má dĺžku a·b / |a|.
Vyskúšaj: Nastav a = (4; 1) a hľadaj b, pre ktoré je a·b = 0. Nájdeš (−1; 4)? Najprv si vždy tipni znamienko.
Vektorový súčin
Vektorový súčin a × b je vektor kolmý na a aj na b. Jeho smer určuje pravidlo pravej ruky a veľkosť |a × b| = |a|·|b|·sin φ sa rovná obsahu rovnobežníka, ktorý a a b vytvoria. Pre rovnobežné vektory je nulový; výmenou činiteľov sa otočí: b × a = −(a × b).
Vyskúšaj: Nastav a = (3; 0; 0) a b = (0; 2; 0): a × b smeruje pozdĺž osi z a má veľkosť 6, rovnako ako obdĺžnik 3 × 2. Potom nakloň b do smeru a a sleduj, ako plocha mizne.
Zmiešaný súčin
Zmiešaný súčin (a × b)·c je číslo, ktoré sa rovná determinantu zo zložiek a, b, c. Jeho absolútna hodnota je objem rovnobežnostena, ktorý tri vektory vymedzia. Keď vyjde nula, rovnobežnosten je plochý – všetky tri vektory ležia v jednej rovine (sú komplanárne).
Vyskúšaj: Nastav c = a − b, teda c = (3; −1; −1) pre východiskové a a b: objem klesne na nulu. Potom zdvihni c₃ a sleduj, ako sa teleso „nafúkne“.
Časté otázky
Čo je Vektory?
Vektory je bezplatná interaktívna simulácia zo StudyFi Lab. Beží priamo v prehliadači, bez registrácie a bez inštalácie. Sčítaj, násob a skúmaj vektory v 2D aj 3D
Je aplikácia Vektory zadarmo?
Áno. Aplikácia Vektory je úplne zadarmo. Funguje v prehliadači na počítači, tablete aj telefóne a nepotrebuješ k nej účet.
Čo môžem preskúmať v aplikácii Vektory?
Základy, Sčítanie vektorov, Násobok vektora, Skalárny súčin, Vektorový súčin, Zmiešaný súčin.
Čo ukazuje pokus „Základy“?
Vektor má veľkosť a smer. Zapisujeme ho súradnicami a = (a₁; a₂; a₃) alebo pomocou jednotkových vektorov osí ako a = a₁i + a₂j + a₃k. Veľkosť vypočítame Pytagorovou vetou |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) a jednotkový vektor â = a / |a| má rovnaký smer a dĺžku 1. Vektor z bodu A do bodu B je rozdiel B − A.
Čo ukazuje pokus „Sčítanie vektorov“?
Vektory sčítame po zložkách: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficky prenesieme b na koniec a (trojuholníkové pravidlo), alebo z oboch vektorov zostavíme rovnobežník a súčet je jeho uhlopriečka. Rozdiel a − b je súčet a + (−b), teda vektor, ktorý vedie z konca b do konca a.
Učíš sa na test?
Nahraj svoje poznámky a StudyFi z nich urobí kartičky, testy a podcasty.