Vettori
Vettori è una simulazione interattiva gratuita di StudyFi Lab. Funziona direttamente nel browser, senza registrazione e senza installare nulla.
Somma, scala e moltiplica vettori in 2D e 3D
Esperimenti
Le basi
Un vettore ha un modulo e una direzione. Lo scriviamo con le coordinate a = (a₁; a₂; a₃) oppure con i versori degli assi come a = a₁i + a₂j + a₃k. Il modulo si ricava con Pitagora, |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), e il versore â = a / |a| mantiene la direzione con lunghezza 1. Il vettore dal punto A al punto B è la differenza B − A.
Prova questo: Trascina la punta in (3; 4) e verifica che |a| = 5. Poi attiva «Da due punti» e sposta entrambi i punti della stessa quantità: il vettore resta lo stesso.
Somma di vettori
I vettori si sommano componente per componente: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficamente si porta b sulla punta di a (regola del triangolo), oppure si costruisce un parallelogramma con i due vettori e la somma è la sua diagonale. La differenza a − b è la somma a + (−b): il vettore che va dalla punta di b alla punta di a.
Prova questo: Premi «Porta b sulla punta di a» e guarda come si forma il triangolo. Poi passa al parallelogramma e imposta b = −a: la somma diventa il vettore nullo.
Prodotto per uno scalare
Il multiplo k·a moltiplica ogni componente per k, quindi sta sulla stessa retta di a: i vettori sono collineari. Il modulo diventa |k|·|a|. Per k > 0 il verso resta uguale, per k < 0 si inverte e per k = 0 si ottiene il vettore nullo.
Prova questo: Porta k da 2 a −2 e guarda la freccia ribaltarsi attraverso l’origine mentre la sua lunghezza resta la stessa.
Prodotto scalare
Il prodotto scalare è un numero: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. È positivo se i vettori formano un angolo acuto, nullo con un angolo retto e negativo con uno ottuso: per questo a·b = 0 significa che sono perpendicolari. La proiezione di b sulla direzione di a è lunga a·b / |a|.
Prova questo: Imposta a = (4; 1) e cerca un b con a·b = 0. Trovi (−1; 4)? Indovina sempre prima il segno.
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale a × b è un vettore perpendicolare sia ad a sia a b. Il verso si trova con la regola della mano destra e il modulo |a × b| = |a|·|b|·sen φ è l’area del parallelogramma formato da a e b. È nullo per vettori paralleli e, scambiando i fattori, cambia verso: b × a = −(a × b).
Prova questo: Imposta a = (3; 0; 0) e b = (0; 2; 0): a × b punta lungo l’asse z con modulo 6, proprio come il rettangolo 3 × 2. Poi inclina b verso a e guarda l’area ridursi.
Prodotto misto
Il prodotto misto (a × b)·c è un numero uguale al determinante delle componenti di a, b e c. Il suo valore assoluto è il volume del parallelepipedo generato dai tre vettori. Se vale zero il parallelepipedo è schiacciato: i tre vettori stanno in uno stesso piano (sono complanari).
Prova questo: Imposta c = a − b, cioè c = (3; −1; −1) con a e b iniziali: il volume scende a zero. Poi aumenta c₃ e guarda il solido gonfiarsi.
Domande frequenti
Che cos’è Vettori?
Vettori è una simulazione interattiva gratuita di StudyFi Lab. Funziona direttamente nel browser, senza registrazione e senza installare nulla. Somma, scala e moltiplica vettori in 2D e 3D
Vettori è gratuito?
Sì. Vettori è completamente gratuito. Funziona nel browser su computer, tablet e telefono, e non serve un account.
Cosa posso esplorare in Vettori?
Le basi, Somma di vettori, Prodotto per uno scalare, Prodotto scalare, Prodotto vettoriale, Prodotto misto.
Che cosa mostra l’esperimento «Le basi»?
Un vettore ha un modulo e una direzione. Lo scriviamo con le coordinate a = (a₁; a₂; a₃) oppure con i versori degli assi come a = a₁i + a₂j + a₃k. Il modulo si ricava con Pitagora, |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), e il versore â = a / |a| mantiene la direzione con lunghezza 1. Il vettore dal punto A al punto B è la differenza B − A.
Che cosa mostra l’esperimento «Somma di vettori»?
I vettori si sommano componente per componente: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficamente si porta b sulla punta di a (regola del triangolo), oppure si costruisce un parallelogramma con i due vettori e la somma è la sua diagonale. La differenza a − b è la somma a + (−b): il vettore che va dalla punta di b alla punta di a.
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