Vektorok
Vektorok: ingyenes interaktív szimuláció a StudyFi Labből. Közvetlenül a böngészőben fut, regisztráció és telepítés nélkül.
Adj össze, skálázz és szorozz vektorokat 2D-ben és 3D-ben
Kísérletek
Alapok
A vektornak hossza és iránya van. Koordinátákkal a = (a₁; a₂; a₃) alakban írjuk, vagy a tengelyek egységvektoraival: a = a₁i + a₂j + a₃k. A hosszát Pitagorasz-tétellel kapjuk: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), az â = a / |a| egységvektor iránya ugyanaz, hossza 1. Az A pontból a B pontba mutató vektor a B − A különbség.
Próbáld ki: Húzd a vektor csúcsát a (3; 4) pontba, és ellenőrizd, hogy |a| = 5. Utána kapcsold be a „Két pontból” módot, és told el mindkét pontot ugyanannyival: a vektor nem változik.
Vektorok összeadása
A vektorokat koordinátánként adjuk össze: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Rajzban b-t az a végpontjába toljuk (háromszögszabály), vagy a két vektorból paralelogrammát rajzolunk, és az összeg az átlója. Az a − b különbség az a + (−b) összeg, vagyis a b végpontjából az a végpontjába mutató vektor.
Próbáld ki: Nyomd meg a „b az a végpontjába” gombot, és figyeld, hogyan áll össze a háromszög. Utána válts paralelogrammára, és állítsd be b = −a értékre: az összeg a nullvektor lesz.
Vektor számszorosa
A k·a számszoros minden koordinátát k-val szoroz, ezért ugyanazon az egyenesen fekszik, mint a: a vektorok kollineárisak. A hossz |k|·|a| lesz. Ha k > 0, az irány megmarad, ha k < 0, megfordul, k = 0 esetén pedig nullvektort kapunk.
Próbáld ki: Vidd a k értékét 2-ről −2-re, és figyeld, ahogy a nyíl átfordul az origón, miközben a hossza nem változik.
Skaláris szorzat
A skaláris szorzat egy szám: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Hegyesszögnél pozitív, derékszögnél nulla, tompaszögnél negatív, ezért az a·b = 0 feltétel merőlegességet jelent. A b vektor a irányára eső vetületének hossza a·b / |a|.
Próbáld ki: Állítsd be a = (4; 1) értékre, és keress olyan b-t, amelyre a·b = 0. Megtalálod a (−1; 4) vektort? Előbb mindig tippeld meg az előjelet.
Vektoriális szorzat
Az a × b vektoriális szorzat olyan vektor, amely a-ra és b-re is merőleges. Irányát a jobbkéz-szabály adja meg, hossza |a × b| = |a|·|b|·sin φ pedig az a és b által kifeszített paralelogramma területe. Párhuzamos vektoroknál nulla, a tényezők felcserélésekor pedig ellentétes lesz: b × a = −(a × b).
Próbáld ki: Állítsd be: a = (3; 0; 0) és b = (0; 2; 0). Az a × b a z tengely mentén mutat, hossza 6, akárcsak a 3 × 2-es téglalap területe. Utána döntsd b-t az a felé, és figyeld, ahogy a terület csökken.
Vegyes szorzat
Az (a × b)·c vegyes szorzat egy szám, amely az a, b, c koordinátáiból álló determinánssal egyenlő. Abszolút értéke a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata. Ha nulla, a test lapos: mindhárom vektor egy síkban fekszik (komplanárisak).
Próbáld ki: Állítsd be c = a − b értékre, a kezdő a és b esetén ez c = (3; −1; −1): a térfogat nullára esik. Utána növeld c₃-at, és figyeld, ahogy a test „felfúvódik”.
Gyakori kérdések
Mi az a(z) Vektorok?
Vektorok: ingyenes interaktív szimuláció a StudyFi Labből. Közvetlenül a böngészőben fut, regisztráció és telepítés nélkül. Adj össze, skálázz és szorozz vektorokat 2D-ben és 3D-ben
Ingyenes a(z) Vektorok?
Igen. A(z) Vektorok teljesen ingyenes. Böngészőben fut számítógépen, tableten és telefonon, és nem kell hozzá fiók.
Mit fedezhetek fel ebben: Vektorok?
Alapok, Vektorok összeadása, Vektor számszorosa, Skaláris szorzat, Vektoriális szorzat, Vegyes szorzat.
Mit mutat a(z) „Alapok” kísérlet?
A vektornak hossza és iránya van. Koordinátákkal a = (a₁; a₂; a₃) alakban írjuk, vagy a tengelyek egységvektoraival: a = a₁i + a₂j + a₃k. A hosszát Pitagorasz-tétellel kapjuk: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), az â = a / |a| egységvektor iránya ugyanaz, hossza 1. Az A pontból a B pontba mutató vektor a B − A különbség.
Mit mutat a(z) „Vektorok összeadása” kísérlet?
A vektorokat koordinátánként adjuk össze: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Rajzban b-t az a végpontjába toljuk (háromszögszabály), vagy a két vektorból paralelogrammát rajzolunk, és az összeg az átlója. Az a − b különbség az a + (−b) összeg, vagyis a b végpontjából az a végpontjába mutató vektor.
Dolgozatra készülsz?
Töltsd fel a jegyzeteidet, és a StudyFi szókártyákat, teszteket és podcastokat készít belőlük.