Ableitungen & Tangenten
Ableitungen & Tangenten ist eine kostenlose interaktive Simulation aus dem StudyFi Lab. Sie läuft direkt im Browser, ohne Anmeldung und ohne Installation.
Tangente, Sekante und der Graph von f′ zu deiner eigenen Funktion
Experimente
Tangente und Ableitung
Ziehe den Punkt am Graphen von f entlang. Die gestrichelte Gerade ist die Tangente: Sie berührt die Kurve bei x₀ und hat die Steigung k = f′(x₀). Der untere Graph sammelt diese Steigungen für jedes x – das ist die Ableitung f′(x). Wo f steigt, ist f′ positiv; wo f fällt, negativ.
Probier das: Wähle die kubische Funktion und schiebe den Punkt dorthin, wo die Tangente waagerecht ist. Welchen Wert zeigt f′ dort, und wo schneidet der untere Graph die x-Achse?
Von der Sekante zur Tangente
Eine Sekante geht durch zwei Punkte des Graphen, x₀ und x₀ + h. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Wird h kleiner, rückt der zweite Punkt an den ersten heran und die Sekante wird zur Tangente: Der Grenzwert von k(h) für h → 0 ist die Ableitung f′(x₀).
Probier das: Lass h gegen 0 gehen (mit dem Schieberegler oder der Animation) und beobachte, wie sich die Sekantensteigung bei den Werten f′(x₀) nähert. Probiere es auch mit dem Sinus.
Finde die Ableitung
Oben siehst du eine Funktion f, unten drei Graphen – nur einer davon ist ihre Ableitung. Lies f wie eine Steigungskarte: Wo f steigt, liegt f′ über der x-Achse; wo f fällt, darunter; an einem Hoch- oder Tiefpunkt geht f′ durch null. Fünf Runden, jedes Mal eine andere Funktionsart.
Probier das: Suche vor der Wahl die Stellen, an denen f eine waagerechte Tangente hat, und prüfe, welcher Kandidat genau dort null ist.
Extrem- und Wendepunkte
Stationäre Stellen liegen dort, wo f′(x) = 0 ist und die Tangente waagerecht verläuft. Wechselt f′ das Vorzeichen von + nach −, hat f dort ein lokales Maximum; von − nach + ein lokales Minimum; bleibt das Vorzeichen gleich, ist es ein Sattelpunkt. Wo f″ das Vorzeichen wechselt, geht die Kurve von einer Links- in eine Rechtskurve über (oder umgekehrt): ein Wendepunkt.
Probier das: Bestimme jedes „?“ auf der Kurve mit Hilfe der Vorzeichen von f′ unten und schalte dann die Einordnung zur Kontrolle ein. Stelle danach die kubische Funktion auf a = 1, b = 0, c = 0.
Häufige Fragen
Was ist Ableitungen & Tangenten?
Ableitungen & Tangenten ist eine kostenlose interaktive Simulation aus dem StudyFi Lab. Sie läuft direkt im Browser, ohne Anmeldung und ohne Installation. Tangente, Sekante und der Graph von f′ zu deiner eigenen Funktion
Ist Ableitungen & Tangenten kostenlos?
Ja. Ableitungen & Tangenten ist komplett kostenlos. Es läuft im Browser auf Computer, Tablet und Handy, und du brauchst kein Konto.
Was kann ich in Ableitungen & Tangenten entdecken?
Tangente und Ableitung, Von der Sekante zur Tangente, Finde die Ableitung, Extrem- und Wendepunkte.
Was zeigt das Experiment „Tangente und Ableitung“?
Ziehe den Punkt am Graphen von f entlang. Die gestrichelte Gerade ist die Tangente: Sie berührt die Kurve bei x₀ und hat die Steigung k = f′(x₀). Der untere Graph sammelt diese Steigungen für jedes x – das ist die Ableitung f′(x). Wo f steigt, ist f′ positiv; wo f fällt, negativ.
Was zeigt das Experiment „Von der Sekante zur Tangente“?
Eine Sekante geht durch zwei Punkte des Graphen, x₀ und x₀ + h. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Wird h kleiner, rückt der zweite Punkt an den ersten heran und die Sekante wird zur Tangente: Der Grenzwert von k(h) für h → 0 ist die Ableitung f′(x₀).
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