Vektory
Vektory je bezplatná interaktivní simulace ze StudyFi Lab. Běží přímo v prohlížeči, bez registrace a bez instalace.
Sčítej, násob a zkoumej vektory ve 2D i 3D
Pokusy
Základy
Vektor má velikost a směr. Zapisujeme ho souřadnicemi a = (a₁; a₂; a₃) nebo pomocí jednotkových vektorů os jako a = a₁i + a₂j + a₃k. Velikost spočítáme Pythagorovou větou |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) a jednotkový vektor â = a / |a| má stejný směr a délku 1. Vektor z bodu A do bodu B je rozdíl B − A.
Vyzkoušej: Přetáhni špičku vektoru na (3; 4) a ověř, že |a| = 5. Pak zapni „Ze dvou bodů“ a posuň oba body o stejný kus – vektor se nezmění.
Sčítání vektorů
Vektory sčítáme po složkách: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficky přeneseme b na konec a (trojúhelníkové pravidlo), nebo z obou vektorů složíme rovnoběžník a součet je jeho úhlopříčka. Rozdíl a − b je součet a + (−b), tedy vektor, který vede z konce b do konce a.
Vyzkoušej: Stiskni „Přenést b na konec a“ a sleduj, jak vznikne trojúhelník. Pak přepni na rovnoběžník a nastav b = −a: součet je nulový vektor.
Násobek vektoru
Násobek k·a vynásobí každou složku číslem k, takže leží na stejné přímce jako a – vektory jsou kolineární. Velikost se změní na |k|·|a|. Pro k > 0 zůstává směr stejný, pro k < 0 se otočí na opačný a pro k = 0 vznikne nulový vektor.
Vyzkoušej: Posuň k z 2 na −2 a sleduj, jak se šipka překlopí přes počátek, zatímco její délka zůstane stejná.
Skalární součin
Skalární součin je číslo: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Když svírají vektory ostrý úhel, je kladný, při pravém úhlu je nulový a při tupém záporný – proto podmínka a·b = 0 znamená kolmost. Průmět b do směru a má délku a·b / |a|.
Vyzkoušej: Nastav a = (4; 1) a hledej b, pro které je a·b = 0. Najdeš (−1; 4)? Nejdřív si vždy tipni znaménko.
Vektorový součin
Vektorový součin a × b je vektor kolmý na a i na b. Jeho směr určuje pravidlo pravé ruky a velikost |a × b| = |a|·|b|·sin φ se rovná obsahu rovnoběžníku, který a a b vytvoří. Pro rovnoběžné vektory je nulový; prohozením činitelů se otočí: b × a = −(a × b).
Vyzkoušej: Nastav a = (3; 0; 0) a b = (0; 2; 0): a × b míří podél osy z a má velikost 6, stejně jako obdélník 3 × 2. Pak nakloň b do směru a a sleduj, jak plocha mizí.
Smíšený součin
Smíšený součin (a × b)·c je číslo, které se rovná determinantu ze složek a, b, c. Jeho absolutní hodnota je objem rovnoběžnostěnu, který tři vektory vymezí. Když vyjde nula, rovnoběžnostěn je placatý – všechny tři vektory leží v jedné rovině (jsou komplanární).
Vyzkoušej: Nastav c = a − b, tedy c = (3; −1; −1) pro výchozí a a b: objem klesne na nulu. Pak zvedni c₃ a sleduj, jak těleso „nafoukne“.
Časté otázky
Co je Vektory?
Vektory je bezplatná interaktivní simulace ze StudyFi Lab. Běží přímo v prohlížeči, bez registrace a bez instalace. Sčítej, násob a zkoumej vektory ve 2D i 3D
Je aplikace Vektory zdarma?
Ano. Aplikace Vektory je úplně zdarma. Funguje v prohlížeči na počítači, tabletu i telefonu a nepotřebuješ k ní účet.
Co můžu prozkoumat v aplikaci Vektory?
Základy, Sčítání vektorů, Násobek vektoru, Skalární součin, Vektorový součin, Smíšený součin.
Co ukazuje pokus „Základy“?
Vektor má velikost a směr. Zapisujeme ho souřadnicemi a = (a₁; a₂; a₃) nebo pomocí jednotkových vektorů os jako a = a₁i + a₂j + a₃k. Velikost spočítáme Pythagorovou větou |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) a jednotkový vektor â = a / |a| má stejný směr a délku 1. Vektor z bodu A do bodu B je rozdíl B − A.
Co ukazuje pokus „Sčítání vektorů“?
Vektory sčítáme po složkách: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂). Graficky přeneseme b na konec a (trojúhelníkové pravidlo), nebo z obou vektorů složíme rovnoběžník a součet je jeho úhlopříčka. Rozdíl a − b je součet a + (−b), tedy vektor, který vede z konce b do konce a.
Učíš se na test?
Nahraj svoje zápisky a StudyFi z nich udělá kartičky, testy a podcasty.