Test na Zmiešaný súčin a objem rovnobežnostena

Otázka 1: Vektory a, b, c sú komplanárne práve vtedy, keď ich zmiešaný súčin je rovný nule.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, vektory a, b, c sú komplanárne práve vtedy, keď ich zmiešaný súčin (a × b) · c je rovný nule. Geometricky to znamená, že rovnobežnosten určený týmito vektormi má nulový objem.

Otázka 2: Objem rovnobežnostena určeného vektormi a = (1, 2, 0), b = (3, 0, 1) a c = (0, 1, 4) je 20 objemových jednotiek.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa príkladu výpočtu objemu rovnobežnostena v študijných materiáloch: a = (1, 2, 0), b = (3, 0, 1), c = (0, 1, 4). Vypočítame (a × b) · c = ( (2)(1) - (0)(0), (0)(3) - (1)(1), (1)(0) - (2)(3) ) · (0, 1, 4) = (2, -1, -6) · (0, 1, 4) = (2)(0) + (-1)(1) + (-6)(4) = 0 - 1 - 24 = -25. Objem rovnobežnostena je absolútna hodnota tohto výsledku, teda V_rovnobežnostena = |-25| = 25 objemových jednotiek, nie 20.

Otázka 3: Ak sú dané vektory a = (2, 1, 0), b = (1, 3, 2) a c = (0, 1, 1), aká je hodnota ich zmiešaného súčinu (a × b) · c?

A. -1

B. 1

C. 3

D. -3

Vysvetlenie: Zmiešaný súčin troch vektorov a, b a c možno vypočítať pomocou determinantu matice tvorenej ich súradnicami. Pre vektory a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) a c = (c₁, c₂, c₃) platí (a × b) · c = det(a, b, c). Pre dané vektory a = (2, 1, 0), b = (1, 3, 2) a c = (0, 1, 1) je determinant: | 2 1 0 | | 1 3 2 | | 0 1 1 | Výpočet determinantu: 2 * (3*1 - 2*1) - 1 * (1*1 - 2*0) + 0 * (1*1 - 3*0) = 2 * (3 - 2) - 1 * (1 - 0) + 0 * (1 - 0) = 2 * (1) - 1 * (1) + 0 = 2 - 1 + 0 = 1 Preto je hodnota zmiešaného súčinu (a × b) · c rovná 1.

Otázka 4: Ktorý z nasledujúcich vzorcov správne vyjadruje objem štvorstena (tetraédra), ktorého tri hrany vychádzajúce z jedného vrcholu sú dané vektormi a, b a c?

A. V₄ = |(a × b) · c|

B. V₄ = |(a × b) · c| / 6

C. V₄ = |a · (b × c)| / 3

D. V₄ = (a × b) · c / 6

Vysvetlenie: Objem štvorstena (tetraédra), ktorého tri hrany vychádzajúce z jedného vrcholu sú dané vektormi a, b a c, je jedna šestina objemu rovnobežnostena určeného týmito istými vektormi. Vzorec pre objem štvorstena (V₄) je V₄ = |(a × b) · c| / 6. Vzorec musí obsahovať absolútnu hodnotu, pretože objem je vždy kladný. Správny je vzorec s delením šiestimi a absolútnou hodnotou.

Otázka 5: V interaktívnej simulácii 3D rovnobežnostena sa pri zmene súradníc vektorov a, b a c okamžite aktualizuje vizualizácia rovnobežnostena a prepočítava jeho objem.

A. Áno

B. Nie

Vysvetlenie: Podľa študijných materiálov, v interaktívnej simulácii 3D rovnobežnostena, pri zmene súradníc vektorov a, b a c, ktoré predstavujú hrany rovnobežnostena, sa okamžite aktualizuje vizualizácia rovnobežnostena a zároveň sa prepočítava jeho objem pomocou zmiešaného súčinu.