Zhrnutie na Základy mechaniky tekutín

## Úvod Archimédov zákon vysvetľuje, prečo predmety vo vode alebo inej kvapaline pociťujú vztlakovú silu. Tento materiál podáva jasné vysvetlenie princípu, postupné riešenie príkladov a praktické využitie vzťahu medzi hustotou, objemom a vztlakom. Materiál je určený pre samoukov (Not attending student) a obsahuje definície, výpočty a prehľadné príklady. ## Základné pojmy > **Definícia:** Archimédov zákon: na teleso ponorené do kvapaliny pôsobí vztlaková (hydrostatická) sila, ktorej veľkosť sa rovná tiaži kvapaliny vytlačenej telesom. > **Definícia:** Hustota látky $\rho$ je hmotnosť na jednotku objemu, $\rho = \dfrac{m}{V}$. > **Definícia:** Vztlaková sila $F_{VZ}$ je sila smerujúca nahor, ktorá sa rovná tiaži vytlačenej kvapaliny. ## Základný vzorec Vztlakovú silu vyjadríme vzorcami: $$F_{VZ} = V_{vytl} \cdot \rho_{kvapalina} \cdot g$$ kde $V_{vytl}$ je objem vytlačenej kvapaliny, $\rho_{kvapalina}$ je hustota kvapaliny a $g$ je gravitačné zrýchlenie (približne $9{.}81\ \mathrm{m/s^2}$). Pre ponorené alebo plávajúce teleso platí rovnováha síl: - pre plávajúce teleso: $$F_{VZ} = m \cdot g$$ - pre čiastočne ponorené teleso: $$V_{vytl} = x \cdot V_{telesa}$$ kde $x$ je zlomok ponoreného objemu. ## Postup pri riešení úloh 1. Určíte, či je teleso úplne alebo čiastočne ponorené. 2. Vypočítate hmotnosť $m$ alebo objem $V$ ak je to potrebné pomocou $\rho = \dfrac{m}{V}$. 3. Vypočítate $V_{vytl}$ (pre plávajúce teleso $V_{vytl} = \dfrac{m}{\rho_{kvapalina}}$ alebo $V_{vytl} = x\,V_{telesa}$). 4. Dosadíte do vzorca $F_{VZ} = V_{vytl} \cdot \rho_{kvapalina} \cdot g$. 5. Ak treba, porovnáte $F_{VZ}$ s tiažou $m\cdot g$ a určíte výslednú sílu (napr. výsledná sila smerom nadol ak $m\,g - F_{VZ} > 0$). ## Príklady (krok za krokom) ### Príklad 1 Úloha: Teleso s hmotnosťou $m=50\ \mathrm{kg}$ je ponorené do kvapaliny s hustotou $\rho=2400\ \mathrm{kg/m^3}$ (napr. hustota niektorých pevných materiálov v pevnej fáze). Určte vztlakovú silu a výslednú silu (t.j. tiaž minus vztlak). 1) Najprv nájdeme objem telesa z $\rho = \dfrac{m}{V}$: $$V = \dfrac{m}{\rho} = \dfrac{50}{2400} = 0{.}020833\ \mathrm{m^3}$$ 2) Vypočítame vztlakovú silu: $$F_{VZ} = V \cdot \rho_{kvapalina} \cdot g = 0{.}020833 \cdot 2400 \cdot 9{.}81$$ $$F_{VZ} = 490\ \mathrm{N}$$ (Niektoré pôvodné poznámky v texte uvádzali iné číselné hodnoty; tu je správny postup: ak je $\rho_{kvapalina}=2400\ \mathrm{kg/m^3}$ a použijeme $g=9{.}81\ \mathrm{m/s^2}$, dosadíme podľa vzorca.) 3) Tiaž telesa: $$F_g = m\cdot g = 50 \cdot 9{.}81 = 490{.}5\ \mathrm{N}$$ 4) Výsledná sila smerom nadol (tiaž minus vztlak): $$F_{res} = F_g - F_{VZ} \approx 0{.}5\ \mathrm{N}$$ (Teleso je prakticky neutrálne; malé rozdiely môžu byť spôsobené zaokrúhľovaním.) ### Príklad 2 (socha z bronzu) Úloha: Socha má hmotnosť $m=200\ \mathrm{kg}$ a je z bronzu s hustotou $\rho_{bronzu}=8800\ \mathrm{kg/m^3}$. Vypočítajte vztlakovú silu vo vode a výslednú tiaž. 1) Objem sochy: $$V = \dfrac{m}{\rho_{bronzu}} = \dfrac{200}{8800} = 0{.}022727\ \mathrm{m^3}$$ 2) Vztlak vo vode ($\rho_{voda}=1000\ \mathrm{kg/m^3}$): $$F_{VZ} = V \cdot \rho_{voda} \cdot g = 0{.}022727 \cdot 1000 \cdot 9{.}81$$ $$F_{VZ} \approx 223{.}0\ \mathrm{N}$$ 3) Tiaž sochy: $$F_g = m\cdot g = 200 \cdot 9{.}81 = 1962{.}0\ \mathrm{N}$$ 4) Výsledná sila smerom nadol: $$F_{res} = F_g - F_{VZ} \approx 1739{.}0\ \mathrm{N}$$ Ak je socha podpieraná na viacerých bodoch (napr. 4 nohy), vztlak zmenší reakcie v miestach opory rovnomerne podľa geometrie kontaktu. ### Príklad 3 (drevené teleso plávajúce vo vode) Úloha: Kmeň dreva pláva a je ponorený zlomkom $x=\tfrac{3}{4}$ svojho objemu. Určite hustotu dreva $\rho_{drevo}$ ak voda má hustotu $\rho_{voda}=1000\ \mathrm{kg/m^3}$. Pre plávajúce teleso platí rovnosť: $$x\,V_{telesa} \cdot \rho_{voda} \cdot g = V_{telesa} \cdot \rho_{drevo} \cdot g$$ Po skratení $V_{telesa}$ a $g$ dostaneme: $$\rho_{drevo} = x \cdot \rho_{voda}$$ Dosadíme $x=\tfrac{3}{4}$: $$\rho_{drevo} = \tfrac{3}{4