Zhrnutie na Základy hydrodynamiky a prúdenia tekutín

## Úvod Hydrodynamika sa zaoberá pohybom kvapalín a zákonmi, ktoré tento pohyb riadia. Tento materiál sa sústredí na kľúčové princípy používané pri analýze prúdenia kvapalín: rovnica kontinuity, Bernoulliho rovnica (energia prúdenia) a teorém hybnosti. Materiál je určený pre samoukov (Not attending student) a obsahuje vysvetlenia, praktické príklady a zhrnutie. > **Definícia:** Prúdové vlákno je prúdová trubica spolu s kvapalinou vo vnútri tejto prúdovej trubice. ## Rovnica kontinuity (zopakované stručne) Poznámka: Podrobné informácie o Hydrodynamika a kontinuita prúdenia sú pokryté inde, tu iba stručné opakovanie pre súvislosť. - Pre nestlačiteľnú kvapalinu a ustálené prúdenie platí zachovanie objemu cez prúdové vlákno. > **Vzťah pre strednú (priemernú) rýchlosť:** Ak má prierez potrubia plochu $S$ a objemový prietok je $Q$, potom stredná rýchlosť $v_S$ je $v_S = \frac{Q}{S}$. ## Bernoulliho rovnica (princíp zachovania energie) Bernoulliho rovnica vyjadruje zachovanie mechanickej energie pre element kvapaliny v prúde pri určitých predpokladoch. > **Predpoklady odvozenia Bernoulliho rovnice:** > - Ustálené prúdenie > - Nestlačiteľná kvapalina > - Ideálna kvapalina (nulová viskozita) > - Prúdové vlákno > - Zanedbáme teplotné zmeny ### Energetické zložky - Kinetická energia na jednotku hmotnosti: $\dfrac{u^2}{2}$ - Potenciálna energia (gravitačná) na jednotku hmotnosti: $gz$ - Práca vykonaná tlakom na jednotku hmotnosti: $\dfrac{p}{\rho}$ Z toho vzniká Bernoulliho rovnica vo forme (konštantná celková energia na jednotku hmotnosti pozdĺž prúdovej čiary): $$\dfrac{p}{\rho} + gz + \dfrac{u^2}{2} = \text{konšt.}$$ Kde $p$ je tlak, $\rho$ hustota kvapaliny, $g$ gravitačné zrýchlenie, $z$ výška nad referenčnou úrovňou a $u$ lokálna rýchlosť prúdenia. ### Upravovanie pre potrubie a reálne kvapaliny - Pri prechode medzi rôznymi prierezmi potrubia sa mení rýchlostná výška $\dfrac{u^2}{2g}$ podľa zákona kontinuity. - Pre reálnu kvapalinu treba zohľadniť straty energie spôsobené trením a vírivými prúdmi. Tieto straty môžeme v rovnici zahrnúť ako stratovú výšku $h_{loss}$: $$\dfrac{p_1}{\rho g} + z_1 + \dfrac{u_1^2}{2g} = \dfrac{p_2}{\rho g} + z_2 + \dfrac{u_2^2}{2g} + h_{loss}$$ - Pri rýchlych zmenách geometrii a v dôsledku tenzného rozdelenia rýchlosti sa v praxi zavádza aj korekčný (Coriolisov) koeficient $\alpha$ pre rýchlostnú energiu, ak sa používa priemerná rýchlosť namiesto lokálnych hodnôt. Fun fact: Bernoulliho princíp je využitý v lietadlách: rozdiely tlaku nad a pod krídlom vznikajú z rozdielov rýchlosti prúdenia, čo vytvára vztlak. ## Teorém hybnosti (zákon o zachovaní momentov) Teorém hybnosti v kontexte prúdenia kvapaliny hovorí, že súčet všetkých síl pôsobiacich na kontrolný objem sa rovná rýchlosti zmeny hybnosti vo vnútri kontrolného objemu plus toku hybnosti cez kontrolný povrch. > **Matematická formulácia (obecne):** > > $$\vec{F} + \oint_{S} \rho \vec{u}\left(\vec{u}\cdot\vec{n}\right) dS = \dfrac{d}{dt} \int_{V} \rho \vec{u} \, dV$$ Pre ustálené prúdenie zmeny v objeme sú nulové a rovnováha sa upraví na porovnanie síl a tokov hybnosti cez povrchy. ### Aplikácie teórému hybnosti - Výpočet reakcie prietoku na stenu odbočky, pri zmene smeru prúdenia v potrubí - Navrhovanie prietokových výúst, lopatiek statorov a rotorov - Určenie sily pôsobiacej na ventil alebo hadicu pri prudkom vypúšťaní > **Praktický vzorec pre prúd cez otvor:** Ak kvapalina s rýchlosťou $u$ vystupuje z otvoru s plochou $S$, hybnostný tok je $\dot{m}u = \rho S u^2$. ## Porovnanie: Bernoulliho princíp vs. Teorém hybnosti | Hlavný aspekt | Bernoulliho princíp | Teorém hybnosti | |---|---:|---:| | Primárna veličina | Energia na jednotku hmotnosti | Hybnosť a sily | | Použitie | Predpoveď zmien tlaku, rýchlosti, výšky | Výpočet síl a reakcií pri zmene smeru alebo prietoku | | Predpoklady | Ideálna, nestlačiteľná, ustálené prúdenie | Môže zahŕňať súčty síl, použiteľné aj pri reálnej kvapaline | | Zahrnutie trenia | Nie, bez dodatočných