Podcast o Matematická gramotnosť a PISA

Kapitoly

Úvod do matematickej gramotnosti

Prečo je to dôležité pre testovanie PISA?

Tri úrovne matematického myslenia

Úloha z PISA v praxi

Ako sme na tom na Slovensku?

Úrovne myslenia

Čo je matematizácia?

Príklady z PISA testov

Matematicky presné zvieratá

Riešenie úlohy

Úloha s mincami

Riešenie a zhrnutie

Přepis

Simona: ...a presne toto je ten moment, kedy si človek uvedomí, že matika nie je len o písomkách a známkach!

Filip: Presne tak! Je to vlastne taký tajný jazyk na pochopenie sveta okolo nás. A keď ho ovládaš, zrazu vidíš veci, ktoré si si predtým nevšimol.

Simona: Vitajte, priatelia. Počúvate Studyfi Podcast. Ja som Simona.

Filip: A ja som Filip. A dnes sa ponoríme do niečoho, čo sa nazýva matematická gramotnosť.

Simona: Znie to trochu... akademicky, Filip. Musím sa priznať. Čo to vlastne znamená?

Filip: Je to super otázka, lebo to znie oveľa zložitejšie, než to v skutočnosti je. Pamätáš si zo školy tie nekonečné príklady na rovnice? Vyrieš sto rovníc jedného typu, potom sto ďalšieho...

Simona: Áno, a nikdy som úplne nechápala, na čo mi to v živote bude. Okrem toho, aby som dostala dobrú známku, samozrejme.

Filip: A presne v tom je ten rozdiel! Bežné vyučovanie matematiky ti často dá nástroj — napríklad kladivo, teda postup riešenia rovnice — a povie ti, aby si ním udierala do klincov. Stále dookola.

Simona: Okej, to dáva zmysel.

Filip: Ale matematická gramotnosť je niečo iné. Tá ti ukáže reálny problém. Povedzme, že potrebuješ zavesiť obraz. A ty sa musíš sama zamyslieť: „Aha, tu by sa mi hodilo kladivo! A potrebujem takýto klinec.“

Simona: Takže nejde len o to vedieť riešiť rovnicu, ale vedieť, kedy a prečo ju použiť v reálnom živote?

Filip: Presne! Je to schopnosť preložiť problém z reálneho sveta do jazyka matematiky, tam ho vyriešiť a potom to riešenie opäť „preložiť“ späť do reality a pochopiť, čo znamená. Je to o používaní matiky ako nástroja na premýšľanie.

Simona: Super, toto je oveľa jasnejšie. A spomína sa to často v súvislosti s medzinárodným testovaním PISA. Prečo práve tam?

Filip: Lebo PISA testuje pätnásťročných žiakov nie z toho, čo sa naučili naspamäť z učebníc. PISA zisťuje, ako sú pripravení na život po škole. Vieš si poradiť s informáciami? Vieš riešiť problémy, ktoré nemajú jasné zadanie ako v učebnici?

Simona: Takže ich zaujíma tá praktická stránka veci.

Filip: Presne. PISA sa díva na tri hlavné veci, keď hodnotí matematickú gramotnosť. Sú to situácie, matematický obsah a kompetencie. Znie to zložito, ale poďme si to rozobrať.

Simona: Poďme na to. Čo sú tie situácie?

Filip: Situácie, alebo kontexty, sú vlastne prostredia, odkiaľ problém pochádza. Môže to byť niečo z tvojho osobného života – napríklad plánovanie vreckového alebo výletu s kamarátmi.

Simona: To je mi blízke.

Filip: Potom je tu kontext školy a zamestnania. Napríklad, ako si prepočítať mzdu alebo pochopiť nejaký graf v prezentácii. A nakoniec je tu spoločnosť a veda, čo je najabstraktnejšie. Napríklad porozumenie článku o klimatickej zmene, ktorý je plný štatistík.

Simona: Jasné. Takže problémy sú zasadené do reálneho sveta.

Filip: Áno. Nejde o vymyslené úlohy typu „Janko má päť jabĺk...“. Ide o autentické problémy. A to nás privádza k druhému bodu – k matematickému obsahu.

Simona: Čo je v podstate tá matika, ktorú sa učíme v škole, však?

Filip: V zásade áno. Sú to štyri hlavné oblasti. Prvá je kvantita – teda všetko o číslach, počítaní, odhadoch. Druhá je priestor a tvar, čo je v podstate geometria. Tretia je zmena a vzťahy, kam patria napríklad funkcie a rovnice. No a štvrtá je náhodnosť – teda pravdepodobnosť a štatistika.

Simona: Dobre, takže máme reálny problém a školskú matematiku. A čo je ten tretí pilier? Kompetencie?

Filip: Kompetencie sú tie najdôležitejšie. To sú tie schopnosti, ktoré prepoja reálny svet s matematikou. Sú rozdelené do troch úrovní. Predstav si to ako levely v hre.

Simona: Levely v hre? To sa mi páči! Aký je prvý level?

Filip: Level jedna je Reprodukčná úroveň. To je základ. Vieš použiť vzorec, ktorý si sa naučila. Vieš urobiť bežný výpočet. Je to vlastne opakovanie naučeného.

Simona: Takže väčšina školských písomiek?

Filip: Často áno. Je to nevyhnutný základ. Ale PISA ide ďalej. Level dva je Úroveň prepojenia.

Simona: A to znamená?

Filip: Tu už nestačí len si spomenúť na jeden vzorec. Musíš prepojiť vedomosti z rôznych oblastí matematiky. Napríklad použiť geometriu aj algebru na riešenie jedného problému. Musíš si sama vytvoriť malý matematický model situácie. Úlohy nie sú úplne rutinné, ale stále obsahujú známe prvky.

Simona: Okej, to už je náročnejšie. A čo je top level?

Filip: Level tri – Úroveň reflexie. Toto je majstrovská úroveň. Tu musíš naozaj hlboko uvažovať o probléme. Musíš si naplánovať stratégiu riešenia, často v úplne neštandardnej úlohe. Vyžaduje si to originálny prístup, zovšeobecňovanie a skvelú argumentáciu.

Simona: Znie to ako niečo, čo by robil Sherlock Holmes, keby bol matematik.

Filip: To je perfektné prirovnanie! Presne tak. Na tejto úrovni už nielen riešiš problém, ale aj rozmýšľaš o tom, ako ho riešiš a prečo je tvoje riešenie správne. Je to o kreativite v matematike.

Simona: Dobre, teóriu máme za sebou. Ale najlepšie si to človek predstaví na príklade. Nemáš nejakú ukážkovú úlohu z PISA testovania?

Filip: Samozrejme. Pozrime sa na jednu klasickú úlohu s názvom „Výška ľudí“. Predstav si graf, ktorý ukazuje priemernú výšku chlapcov a dievčat v Holandsku v rôznom veku, od 10 do 20 rokov.

Simona: Dobre, mám ho pred očami. Dve krivky, jedna pre chlapcov, jedna pre dievčatá.

Filip: Super. Prvá otázka je veľmi jednoduchá. Hovorí: „Od roku 1980 sa priemerná výška dvadsaťročných dievčat zvýšila o 2,3 cm na 170,6 cm. Aká bola ich priemerná výška v roku 1980?“

Simona: Počkaj... to je len 170,6 mínus 2,3. To je 168,3 cm. To je dosť priamočiare.

Filip: Presne. Toto je tá Reprodukčná úroveň. Jednoduchý výpočet, nič zložité. Testuje to základné počítanie.

Simona: Okej, čo ďalej?

Filip: Druhá otázka znie: „Pomocou grafu urči, v ktorom vekovom období sú dievčatá v priemere vyššie ako rovnako starí chlapci.“

Simona: Takže sa musím pozrieť na graf a nájsť úsek, kde je krivka dievčat nad krivkou chlapcov. Vyzerá to tak... asi od 11 do 13 rokov.

Filip: Správne. Toto už nie je len čistý výpočet. Musíš informáciu získať z grafu, interpretovať ju. Stále je to pomerne jednoduché, ale už to prepája čítanie grafu s porovnávaním.

Simona: Dobre, a je tam aj nejaká ťažšia otázka?

Filip: Áno, tretia. Tá je najzaujímavejšia: „Vysvetlite, ako je v grafe znázornené, že po dosiahnutí 12. roku veku rýchlosť rastu dievčat v priemere klesá.“

Simona: Hm, rýchlosť rastu... Takže sa nemám pozerať na to, či krivka stúpa, lebo ony stále rastú. Ale na to, ako rýchlo stúpa. Čiže na sklon tej krivky.

Filip: Bingo! Presne tak. Po 12. roku je tá krivka pre dievčatá stále stúpajúca, ale je menej strmá. Rast sa spomaľuje.

Simona: A to musím slovne opísať. Aha! Takže tu už nestačí len číslo alebo údaj z grafu. Musím argumentovať a vysvetliť, čo vidím. To je tá vyššia úroveň, však?

Filip: Presne. Toto je príklad úlohy, ktorá smeruje k úrovni prepojenia a reflexie. Musíš pochopiť, čo znamená „rýchlosť rastu“ v kontexte grafu. A to je presne duch testovania PISA. Začať jednoducho a postupne prejsť k hlbšiemu uvažovaniu o tom istom probléme.

Simona: To bol skvelý príklad. Človek si hneď lepšie predstaví, o čo ide. Ale teraz prichádza tá menej veselá časť, však? Ako sa v tomto darí slovenským žiakom?

Filip: No, tu by sme potrebovali trochu optimizmu. Výsledky, napríklad z roku 2012, neboli úplne lichotivé. Priemer slovenských žiakov bol pod priemerom krajín OECD.

Simona: Au. A vieme, čo nám robí najväčšie problémy?

Filip: Áno, analýzy ukázali niekoľko vecí. Problémové sú práve úlohy, ktoré vyžadujú čítanie a interpretáciu informácií z grafov a tabuliek. Presne ako v našom príklade.

Simona: Čo ešte?

Filip: Ďalej úlohy, kde treba argumentovať. Teda nielen vypočítať výsledok, ale aj vysvetliť prečo. A tiež úlohy zamerané na pravdepodobnosť a štatistiku.

Simona: Takže presne tie veci, ktoré sú o tom „premýšľaní“ a nie len o „počítaní“.

Filip: Presne tak. A je tu ešte jeden alarmujúci trend. Zvyšuje sa nám počet žiakov, ktorí sú v tej najnižšej, takzvanej rizikovej skupine. Tí, ktorí nezvládajú ani tie úplne základné úlohy. Ich počet narástol oproti predošlým rokom.

Simona: To je naozaj znepokojujúce. A je nejaký rozdiel napríklad medzi chlapcami a dievčatami?

Filip: Zaujímavé je, že hoci dievčatá majú v škole často lepšie známky z matematiky, v PISA teste dosahujú v priemere o niečo nižšie skóre ako chlapci. Ale ten rozdiel nie je obrovský.

Simona: To je paradox. Čím to môže byť?

Filip: Môže to súvisieť so sebavedomím v riešení neštandardných úloh. Alebo so zameraním vyučovania, ktoré možno viac sedí dievčatám v rámci školského systému, ale menej ich pripravuje na takýto typ testovania. Na druhej strane, najlepšie výsledky u nás dlhodobo dosahujú žiaci z osemročných gymnázií.

Simona: Takže kľúčové je naozaj zmeniť prístup. Nejde o to učiť sa viac vzorcov, ale učiť sa viac premýšľať a aplikovať to, čo viem.

Filip: Vystihla si to dokonale! Matematická gramotnosť nie je o tom, byť matematický génius. Je to o tom, vedieť používať matematiku ako užitočný nástroj v každodennom živote. Aby si vedela kriticky zhodnotiť graf v správach, naplánovať si financie, alebo jednoducho pochopiť svet, ktorý je plný dát a čísel.

Simona: Takže, ak si z tohto naši poslucháči majú odniesť jednu vec, čo by to bolo?

Filip: Že každá slovná úloha, každý graf v novinách, každá štatistika, na ktorú narazíte, je príležitosť trénovať si svoju matematickú gramotnosť. Nebojte sa pýtať: „Čo mi tieto čísla vlastne hovoria?“ Je to zručnosť, ktorá sa vám v živote zíde viac, než si možno myslíte.

Simona: Skvelý záver. Filip, ďakujem ti veľmi pekne. Bolo to naozaj objasňujúce.

Filip: Aj ja ďakujem. A pamätajte, matika nie je strašiak. Je to len nástroj. A my sa ho musíme naučiť používať.

Simona: A s tým sa s vami v tejto téme lúčime. Hneď po krátkej pauze sa pozrieme na ďalšiu zaujímavú oblasť...

Simona: No počkaj, takže to, čo sme práve preberali, vlastne priamo súvisí s tým, ako rozmýšľame pri matike. Nie je to len o tom, či vieš alebo nevieš počítať.

Filip: Presne tak! Hovoríme o rôznych úrovniach matematického myslenia. Nie je to čiernobiele.

Simona: Úrovne? To znie ako videohra. Tak aké sú tie levely?

Filip: Je to tak trochu ako hra! Prvá úroveň je čistá rutina. Automatické operácie, kde vlastne ani nerozmýšľaš. Proste to urobíš.

Simona: Okej, to chápem. A ďalej?

Filip: Druhá úroveň je, keď už použiješ nejaký základný vzorec alebo algoritmus. Vieš, čo robíš, ale je to stále dosť priamočiare.

Simona: Jasné. Tretia úroveň už vyžaduje nájsť nejakú jednoduchú stratégiu. Musíš spojiť viacero informácií dokopy.

Filip: Presne. A na štvrtej úrovni už musíš preniknúť do podstaty problému a vedieť argumentovať, prečo si niečo urobil práve takto. Už to nie je len o výsledku.

Simona: A tie najvyššie levely? To je už asi pre géniov, však?

Filip: Nie nevyhnutne! Piata úroveň je o vytváraní modelov a porovnávaní stratégií. A tá šiesta... tam už zovšeobecňuješ, vytváraš hypotézy a dokonca aj nové prístupy k riešeniu.

Simona: Dobre, takže tieto úrovne určujú, ako hlboko chápeme problém. Ale ako sa vlastne dostaneme od reálneho problému k tej matike?

Filip: Výborná otázka! Tomuto procesu sa hovorí matematizácia. A je to základný cieľ vzdelávania.

Simona: Znie to odborne. Ako to funguje v praxi?

Filip: Predstav si to v piatich krokoch. Prvý krok: máš reálny problém. Povedzme, že chceš ohradiť záhon v záhrade.

Simona: A nemáš nekonečne veľa dreva, však?

Filip: Presne! To je druhý krok – nájdeš matematické pojmy. V tomto prípade to bude obvod a dĺžka materiálu. Tretí krok: zjednodušíš to. Vytvoríš z toho matematický problém, kde riešiš len tvary a čísla.

Simona: Čiže v štvrtom kroku to vypočítaš...

Filip: Áno. A piaty, najdôležitejší krok: preložíš matematické riešenie späť do reálneho sveta a povieš: „Áno, na tento tvar mi drevo vyjde.“

Simona: Toto sa dá asi pekne ukázať na príkladoch, že?

Filip: Určite. Medzinárodné testovanie PISA, ktoré prebieha v desiatkach krajín, používa presne takéto úlohy. Napríklad úloha o tesárovi, ktorý má 32 metrov dreva na ohradenie záhonu.

Simona: To je presne ten príklad! Dostaneš na výber rôzne tvary záhonov a máš povedať, na ktorý ti tých 32 metrov stačí.

Filip: A to je skvelý príklad druhej alebo tretej úrovne myslenia. Používaš základné vzorce pre obvod. Ale čo takáto úloha: výmenný kurz.

Simona: Oh, to poznám. Výmena peňazí pred dovolenkou... a po nej.

Filip: Presne. Prvá otázka je len prepočet – koľko dostaneš randov za doláre pri danom kurze. To je druhá úroveň.

Simona: To je ešte ľahké. Ale často sa pýtajú aj niečo zložitejšie.

Filip: Áno! Tretia otázka v tej úlohe bola, či je pre teba výhodnejšie, ak sa kurz pri spätnej výmene zmení z 4,2 na 4,0. A máš to zdôvodniť.

Simona: A tu už nestačí len niečo vypočítať, však? Tu už musím argumentovať. Musím chápať, čo tie čísla znamenajú v reálnom svete.

Filip: Presne tak! A tým sa dostávame na štvrtú úroveň matematického myslenia. A presne o tomto to celé je – vidieť matematiku v bežnom živote, nielen v učebniciach.

Simona: Takže nielenže sú zvieratá inteligentné, ale niektoré ich zvyky sú až matematicky presné. To je fascinujúce!

Filip: Presne tak! A mám tu jeden skvelý príklad, ktorý to ilustruje. Je to úloha o tuleňom spánku.

Simona: O tuleňom spánku? Dobre, toto chcem počuť.

Filip: Predstav si, že tuleň spí vo vode. Ponorí sa na dno a spí tam 8 minút. Potom sa vynorí a 3 minúty dýcha na hladine. A tento cyklus sa stále opakuje.

Simona: Okej, takže 8 minút pod vodou, 3 minúty na hladine. Celý jeden cyklus teda trvá presne 11 minút.

Filip: Správne. A teraz otázka... kde sa bude tuleň nachádzať presne po jednej hodine, teda po 60 minútach?

Simona: Hmm, dobre... 60 deleno 11... to je 5 celých cyklov. To je 55 minút. A zostane mi 5 minút.

Filip: Presne! Po 55 minútach dokončí piaty cyklus na hladine. Čo sa stane potom?

Simona: Začne ďalší cyklus. Takže sa ponorí... a tých zvyšných 5 minút bude na dne mora. Mám pravdu?

Filip: Máš úplnú pravdu! Nachádzal by sa na dne. Vidíš? Čistá matematika v prírode.

Simona: To je super! A čo keď sa princípy z biológie prenesú do úplne inej oblasti? Napríklad do dizajnu mincí?

Filip: Zaujímavý prechod! To je presne ďalšia vec, na ktorú sa pozrieme...

Simona: A to nás plynule privádza k našej poslednej dnešnej téme... prekvapivo, numizmatike!

Filip: Presne tak! Ale nebojte sa, nebudeme sa učiť o rímskych denároch. Máme tu skôr takú matematickú hádanku.

Simona: Dobre, som zvedavá. Máme navrhnúť sadu mincí s priemerom medzi 15 a 45 milimetrami.

Filip: Áno, a tu je háčik. Každá ďalšia minca v sade musí mať priemer aspoň o 30 % väčší ako tá predchádzajúca. A priemery musia byť celé čísla.

Simona: Cieľom je mať čo najviac mincí v sade, pričom začíname s priemerom 15 milimetrov. Ako na to?

Filip: Pekne krok za krokom. Prvá minca má 15 mm. Druhá musí byť aspoň 1.3-krát väčšia, čo je 19.5 mm. Takže vezmeme najbližšie celé číslo, čiže 20 mm.

Simona: Aha, takže len pokračujeme v násobení! Ďalej máme 20 krát 1.3, to je presne 26. Super!

Filip: Presne! Potom 26 krát 1.3 je 33.8, zaokrúhlime nahor na 34 mm. A nakoniec 34 krát 1.3 je 44.2, čo zaokrúhlime na 45 mm.

Simona: A sme na hornom limite! Takže správna sada je 15, 20, 26, 34 a 45 milimetrov. Celkovo päť mincí!

Filip: A to je správna odpoveď. Viac sa už do limitu naozaj nezmestí.

Simona: Skvelé! Takže od teórie grafov až po mince... dnes to bola naozaj jazda. Ďakujeme, že ste nás počúvali.

Filip: Majte sa krásne a dopočutia pri ďalšej epizóde Studyfi Podcastu!