Zhrnutie na Elektrické pole a kapacitory

## Úvod Elektrické polia a kondenzátory sú základné pojmy elektrostatiky a elektrickej techniky. Tento materiál vysvetľuje, ako sa náboj rozdeľuje na vodičoch, čo je kapacita vodiča a ako fungujú kondenzátory vrátane ich spájania. Obsah je pripravený pre stredoškolské štúdium s príkladmi a praktickými aplikáciami. ## Elektrické pole pri vodičoch ### Rozmiestnenie náboja na vodiči - Na vodičoch sa náboj nerozkladá rovnomerne. Najväčšia plošná hustota náboja sa nachádza na ostrých hranách a hrotoch. - Na hladkých plochách je hustota náboja menšia. Vo vnútri dutín v kovových telesách sa náboj nenachádza. > **Definícia:** Plošná hustota elektrického náboja je $\sigma = \dfrac{Q}{S}$. - Pre povrch vodivej gule platí: $$\sigma = \dfrac{Q}{4\pi r^{2}}$$ - Vo vzduchu intenzita elektrického poľa od bodového náboja (alebo guľového rozloženia) v diaľke $r$ je: $$|E| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}$$ - Tesne pri povrchu vodiča teda platí vzťah medzi intenzitou poľa a plošnou hustotou: $$|E| = \dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\sigma$$ Praktický dôsledok: na hrotoch bude $\sigma$ veľké, takže $|E|$ je veľké — preto sa bleskozvody navrhujú so zaoblenými povrchmi a ostrými časťami sa využívajú pri ionizácii vzduchu (napríklad hroty pri elektrostatických zariadeniach). ### Príklad - Kovová gule s nábojom $Q$ a polomerom $r$ má na povrchu hustotu $\sigma = \dfrac{Q}{4\pi r^{2}}$. Ak zmenšíme polomer, hustota sa zväčší. Fun fact: Ostré hrany a hroty spôsobujú lokalné zvýšenie elektrického poľa, čo sa využíva v bleskozvodoch a pri elektrostatickom odstraňovaní prachu. ## Kapacita vodiča a kapacita kondenzátora ### Kapacita vodiča - Každý vodič má vzhľadom na zvolené nulové potenciálové miesto potenciál $\varphi$. Pre kovovú guľu platí priamo úmernosť medzi nábojom a potenciálom. > **Definícia:** Kapacita vodiča $C$ je konštanta úmernosti v závislosti medzi nábojom $Q$ a potenciálom $\varphi$: $$Q = C\varphi$$ - Ak namiesto $\varphi$ používame napätie $U$ vzhľadom na referenciu, platí $$Q = C U$$ - Jednotka kapacity je farad, $\mathrm{F}$. - Kapacita závisí od tvaru vodiča a prostredia (permitivity okolia). ### Platňový (rovinný) kondenzátor - Najjednoduchší kondenzátor tvorí pár rovnobežných kovových dosiek plochy $S$ vzdialených o $d$ a medzi nimi dielektrikum s permitivitou $\varepsilon$. > **Vzorec pre kapacitu platňového kondenzátora:** $$C = \dfrac{\varepsilon S}{d}$$ - Pri nabíjaní kondenzátora sa vykonáva práca. Táto práca sa ukladá ako energia elektrického poľa v kondenzátore. > **Energia kondenzátora:** $$W = \tfrac{1}{2} Q U = \tfrac{1}{2} C U^{2}$$ Praktické poznámky: - Väčšia plocha $S$ a menšie medzery $d$ zvyšujú kapacitu. - Použitie dielektrika s vyššou permitivitou $\varepsilon$ zvyšuje kapacitu. ### Aplikácie kondenzátorov - Ukladanie energie (zrýchľovače, zábleskové svetlá) - Filtrácia napäťových zložiek v napájacích zdrojoch - Tvorba časových konštánt v RC obvodoch - Laditeľné (otočné) kondenzátory v rádiách Did you know that modern superkapacitory (ultrakondenzátory) dokážu uchovávať stovky až tisíce krát väčšie náboje na jednotku hmotnosti než bežné elektrolytické kondenzátory a používajú sa ako doplnok k batériám v hybridných vozidlách? ## Spájanie kondenzátorov ### Paralelné zapojenie - Používame, keď chceme väčšiu kapacitu. - Pri paralelnom zapojení majú všetky kondenzátory rovnaké napätie $U$. Pre jednotlivé kondenzátory platí: $Q_{1} = C_{1} U$, $Q_{2} = C_{2} U$, ..., $Q_{n} = C_{n} U$. - Celkový náboj: $$Q = Q_{1} + Q_{2} + \dots + Q_{n} = C U$$ - Výsledná kapacita je súčtom jednotlivých kapacít: $$C = C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$$ ### Sériové zapojenie - Používa sa, keď potrebujeme vyššie napätie alebo inú výslednú kapacitu. - Pri pripojení na zdroj sú všetky kondenzátory nabité rovnakým nábojom $Q$. - Napätia na jednotlivých kondenzátoroch môžu byť rôzne, ak sú kapacity rôzne. Pre výslednú kapacitu platí (podľa definície $U = \dfrac{Q}{C}$ a sčítania napätí): $$\dfrac{1}{C} = \d