Resumo de Wronskiano e Equações Diferenciais Homogêneas

## Introdução As equações diferenciais lineares com coeficientes constantes são uma classe fundamental de equações que surgem na física, engenharia e outros campos aplicados. Nesta unidade, veremos a forma geral, o procedimento para encontrar a solução geral da equação homogênea associada e técnicas para construir soluções quando surgem raízes reais distintas, raízes reais repetidas e raízes complexas conjugadas. Também serão apresentadas aplicações e exemplos práticos. > **Definição:** Uma equação diferencial linear de ordem $n$ com coeficientes constantes tem a forma > $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x),$$ > onde $a_i$ são constantes e $f(x)$ é uma função dada. ## Equação homogênea associada Para analisar a parte homogênea, considera-se $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0.$$ Buscamos soluções da forma $y=e^{mx}$, o que leva à equação característica: $$a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \cdots + a_1 m + a_0 = 0.$$ As raízes deste polinômio característico determinam a forma da solução geral. ### Casos de acordo com as raízes do polinômio característico - Raízes reais distintas: se as raízes são $m_1, m_2, \dots, m_n$ todas distintas, a solução geral é $$y_c = C_1 e^{m_1 x} + C_2 e^{m_2 x} + \cdots + C_n e^{m_n x}.$$ - Raízes reais repetidas: se $m$ é uma raiz de multiplicidade $r$, as soluções associadas são $$e^{m x},\; x e^{m x},\; x^2 e^{m x},\; \dots,\; x^{r-1} e^{m x}.$$ - Raízes complexas conjugadas: se aparecem pares $m=\alpha + \beta i$ e $\overline{m}=\alpha - \beta i$, as soluções reais associadas são $$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$ > **Definição:** A solução geral da equação homogênea é a combinação linear de todas as soluções independentes obtidas a partir das raízes do polinômio característico. ## Procedimento passo a passo (resumo prático) 1. Escrever a equação homogênea e construir a equação característica. 2. Calcular as raízes do polinômio característico. 3. Formar a solução complementar $y_c$ de acordo com o tipo e a multiplicidade das raízes. 4. Se a equação for não homogênea ($f(x)\neq 0$), encontrar uma solução particular $y_p$ por um método apropriado (por exemplo, coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros) e compor $y=y_c+y_p$. ## Exemplos ### Exemplo 1: raízes reais distintas Resolver a equação $$y'' - 3y' + 2y = 0.$$ A equação característica é $$m^2 - 3m + 2 = 0.$$ As raízes são $m_1 = 1$, $m_2 = 2$. Portanto $$y_c = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.$$ ### Exemplo 2: raízes reais repetidas Resolver $$y'' - 2y' + y = 0.$$ Característica: $$m^2 - 2m + 1 = 0$$ com raiz dupla $m=1$ de multiplicidade 2. Então $$y_c = (C_1 + C_2 x) e^{x}.$$ ### Exemplo 3: raízes complexas conjugadas Resolver $$y'' + 4y = 0.$$ Característica: $$m^2 + 4 = 0$$ com raízes $m=2i$, $m=-2i$. A solução real é $$y_c = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x).$$ > **Aplicação real:** Em circuitos RLC lineares ideais, a equação para a corrente ou a carga geralmente é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes; as raízes determinam se o circuito é subamortecido (oscilatório), criticamente amortecido ou superamortecido. ## Comparação de casos (tabela) | Tipo de raízes | Forma das soluções básicas | Exemplo típico | | --- | ---: | --- | | Reais distintas | $e^{m_i x}$ | $y'' - 3y' + 2y = 0$ | | Reais repetidas | $x^k e^{m x}$, $k=0,\dots,r-1$ | $y'' - 2y' + y = 0$ | | Complexas conjugadas | $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$, $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | $y'' + 4y = 0$ | ## Princípio da Superposição > **Definição:** Se $y_1, y_2, \dots, y_k$ são soluções da equação linear homogênea, então qualquer combinação linear $C_1 y_1 + \cdots + C_k y_k$ também é solução. - Isso permite construir a solução geral como uma combinação linear de soluções independentes. ## Métodos para a parte não homogênea (breve) - Coeficientes Indeterminados: útil quando $f(x)$ é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Propõe-se uma forma para