Resumo de Sequências e Progressões Numéricas

## Introdução Uma **progressão geométrica** é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma **razão constante** $r$. Este tópico permite descrever padrões de crescimento ou decrescimento multiplicativo e aparece em finanças, ciências e tecnologia. > **Definição:** Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante $r$. ## Conceitos Fundamentais ### Termo Geral A fórmula para o $n$-ésimo termo de uma progressão geométrica é $$ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} $$ onde $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão. - Se $r>1$, a sequência cresce exponencialmente. - Se $0<r<1$, a sequência decresce em direção a 0. - Se $r<0$, os termos alternam o sinal. > **Cálculo da Razão:** Para qualquer $n$, $r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$. ### Exemplo Prático (passo a passo) Considere a sequência $2$, $6$, $18$, $54$, ... Aqui $a_1 = 2$ e $r = 3$. - Termo geral: $$ a_n = 2 \times 3^{(n-1)} $$ - Calcular $a_3$: $$ a_3 = 2 \times 3^{2} $$ - Calcular $a_5$: $$ a_5 = 2 \times 3^{4} $$ ### Nota sobre Erros Comuns - Não confundir com progressão aritmética (não incluir conteúdo desse tópico aqui). - Verifique sempre se a razão é calculada dividindo um termo pelo anterior. ## Soma dos primeiros n termos (série geométrica) Para $r \neq 1$, a soma dos primeiros $n$ termos é calculada com $$ S_n = a_1 \times \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1} $$ Se $r = 1$, todos os termos são iguais a $a_1$ e $$ S_n = n \times a_1 $$ ### Exemplo de soma Para a sequência $5$, $10$, $20$, $40$, ... temos $a_1 = 5$ e $r = 2$. - Soma dos primeiros 5 termos: $$ S_5 = 5 \times \dfrac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 5 \times (32 - 1) = 5 \times 31 = 155 $$ ### Condições de convergência - Se $|r|<1$, a série geométrica infinita converge e sua soma é $$ S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r} $$ - Se $|r|\ge 1$, a série infinita não converge. ## Aplicações Reais - Finanças: crescimento de investimentos com juros compostos, onde os valores seguem uma progressão geométrica. Por exemplo, capital inicial $C$, razão $r = 1 + i$ com taxa $i$. - Ciências: desintegração radioativa aproximada por um fator de redução constante por intervalo de tempo. - Informática: custos ou tempos de algoritmos que dobram a cada passo, estruturas que crescem exponencialmente. ## Tabela Comparativa (Conceitos Relacionados) | Conceito | Fórmula Chave | Observação | |---|---:|---| | Termo Geral | $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$ | Define cada termo por multiplicação | | Razão | $r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ | Constante entre termos consecutivos | | Soma Finita ($r\ne1$) | $S_n = a_1 \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$ | Útil para somas parciais | | Soma Infinita ($|r|<1$) | $S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r}$ | Convergência absoluta quando $|r|<1$ | ## Dicas Práticas - Sempre identifique $a_1$ e calcule $r$ antes de aplicar as fórmulas. - Use a fórmula do termo geral para obter termos distantes sem listar toda a sequência. - Para séries infinitas, verifique primeiro a condição $|r|<1$. - Se $r$ for negativo, espere termos com sinais alternados. Curiosidade: A fórmula da soma geométrica aparece em problemas históricos de xadrez relacionados com grãos de trigo em um tabuleiro, onde a quantidade dobrava em cada casa e a soma resultou em uma progressão geométrica. ## Exercícios de prática (sugeridos) 1. Dada a sequência $3$, $-6$, $12$, $-24$, ... encontre $a_1$, $r$, $a_6$ e $S_6$. 2. Calcule a soma infinita da progressão geométrica com $a_1 = 8$ e $r = \dfrac{1}{4}$. 3. Um investimento inicial de $1000$ cresce $5\%$ ao ano. Escreva a expressão para o montante após $n$ anos. ## Resumo - Uma progressão geométrica multiplica cada termo por uma razão constante $r$. - Termo geral: $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$. - Soma finita: $S_n = a_1 \dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$ para $r \neq 1$. - Soma infinita: $S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r}$ se $|r|<1$. - Aplica-se em finanças, ciências e problemas de crescimen