Teste sobre Reta tangente a um gráfico e o significado geométrico da derivada

Pergunta 1: A equação da reta tangente a uma função f em um ponto (x₀, f(x₀)) com inclinação f′(x₀) é expressa pela fórmula y + f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀).

A. Sim

B. Não

Explicação: De acordo com o material de estudo, a equação da reta tangente que passa pelo ponto (x₀, f(x₀)) e tem inclinação f′(x₀) é dada por y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀). A fórmula apresentada na questão utiliza y + f(x₀) em vez de y − f(x₀), o que a torna incorreta.

Pergunta 2: De acordo com os materiais de estudo, qual é a fórmula correta para calcular a inclinação (m_sec) de uma reta secante que passa pelos pontos (x₀, f(x₀)) e (x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)) em uma curva?

A. m_sec = lim (Δx→0) [(f(x₀ + Δx) − f(x₀)) / Δx]

B. m_sec = f′(x₀)

C. m_sec = (f(x₀ + Δx) − f(x₀)) / Δx

D. m_sec = y − f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)

Explicação: Os materiais de estudo definem a inclinação da reta secante (m_sec) que passa pelos pontos (x₀, f(x₀)) e (x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)) como a variação em y dividida pela variação em x, que é expressa pela fórmula m_sec = (f(x₀ + Δx) − f(x₀)) / Δx. As outras opções representam a definição da derivada (inclinação da reta tangente) ou a equação da reta tangente.

Pergunta 3: O gráfico da derivada f'(x) é construído acima do gráfico da função original f(x) em uma simulação interativa.

A. Sim

B. Não

Explicação: Na simulação interativa, o segundo gráfico, que é o gráfico da derivada f'(x), é construído 'abaixo' do gráfico da função original, e não acima, como mencionado na questão.

Pergunta 4: A equação da reta tangente à função f(x) = x³ − 3x² + 2 no ponto onde x₀ = 1 é y = −3x + 3?

A. Sim

B. Não

Explicação: No exemplo resolvido, a equação da reta tangente à função f(x) = x³ − 3x² + 2 no ponto onde x₀ = 1 foi calculada, resultando em y = −3x + 3. Isso foi obtido após encontrar o ponto de tangência (1, 0), derivar a função para obter f′(x) = 3x² − 6x, calcular a inclinação f′(1) = −3, e aplicar a fórmula da equação da reta tangente y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀).

Pergunta 5: De acordo com o material de estudo, qual das seguintes afirmações descreve corretamente a derivada f′(x) em um ponto crítico onde a função f(x) é horizontal?

A. f′(x) terá um valor positivo grande

B. f′(x) será zero

C. f′(x) terá um valor negativo grande

D. f′(x) será uma função constante igual à inclinação de f(x)

Explicação: O material de estudo afirma explicitamente que 'Onde f(x) é horizontal (ponto crítico), f′(x) será zero'. As outras opções descrevem situações onde a função f(x) tem inclinações positivas acentuadas, negativas acentuadas ou é uma linha reta, respectivamente, mas não se referem especificamente a um ponto crítico horizontal.