Teste sobre Produto escalar e o ângulo entre vetores

Pergunta 1: A fórmula cos φ = (a · b) / (|a| |b|) fornece diretamente o valor do ângulo φ entre dois vetores.

A. Sim

B. Não

Explicação: A fórmula cos φ = (a · b) / (|a| |b|) fornece o valor do cosseno do ângulo φ. Para encontrar o valor do ângulo φ em si, é necessário aplicar a função arco cosseno (arccos ou cos⁻¹) ao resultado, conforme explicado nos materiais de estudo.

Pergunta 2: Dados os vetores a = (2, -3, 4) e b = (-1, 5, 2), qual é o valor do produto escalar a · b?

A. 10

B. -9

C. 21

D. 13

Explicação: Para vetores em um espaço tridimensional (3D), o produto escalar é calculado somando os produtos das componentes correspondentes. Se a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), então a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Para os vetores dados: a = (2, -3, 4) e b = (-1, 5, 2). Calculamos: (2)(-1) + (-3)(5) + (4)(2) = -2 - 15 + 8 = -17 + 8 = -9. Portanto, o produto escalar é -9.

Pergunta 3: O produto escalar de dois vetores não nulos ser igual a zero é um critério para verificar se eles são ortogonais.

A. Sim

B. Não

Explicação: Os materiais de estudo afirmam explicitamente: 'Portanto, se a · b = 0 (e a e b não são vetores nulos), os vetores a e b são ortogonais (perpendiculares). Este é um critério fundamental para verificar a perpendicularidade de vetores.' Isso confirma que o produto escalar zero é o critério para a ortogonalidade de vetores não nulos.

Pergunta 4: Qual das seguintes afirmações representa corretamente uma propriedade algébrica do produto escalar entre vetores, conforme descrito nos materiais de estudo?

A. a · (b + c) = a · b + a · c

B. a · b = - (b · a)

C. a · (b · c) = (a · b) · c

D. (k a) · b = k + (a · b)

Explicação: Os materiais de estudo afirmam que a propriedade de distributividade em relação à soma vetorial é 'a · (b + c) = a · b + a · c'. As outras opções não correspondem às propriedades listadas: 'a · b = - (b · a)' contradiz a comutatividade 'a · b = b · a'; 'a · (b · c) = (a · b) · c' não é uma propriedade do produto escalar, pois o produto escalar de dois vetores resulta em um escalar, não um vetor que possa ser operado novamente com o produto escalar dessa forma; e '(k a) · b = k + (a · b)' é uma manipulação incorreta da associatividade com um escalar.

Pergunta 5: A fórmula para calcular a projeção vetorial de 'a' sobre 'b' utiliza o módulo de 'b' (|b|) no denominador da fração antes da multiplicação pelo vetor 'b'.

A. Sim

B. Não

Explicação: A fórmula apresentada para a projeção vetorial de 'a' sobre 'b' é proj_b a = ((a · b) / |b|²) · b. Isso indica que o denominador da fração é o módulo de 'b' ao quadrado (|b|²), e não apenas o módulo de 'b' (|b|).