Resumo de Óptica Geométrica: Formação de Imagens em Espelhos

## Introdução Os **espelhos esféricos** são superfícies refletoras que fazem parte de uma esfera. Dependendo da porção utilizada, podem ser **côncavos** (superfície refletora interna) ou **convexos** (superfície refletora externa). Neste material, revisaremos sua geometria, propriedades básicas, a dedução da equação geral dos espelhos esféricos e aplicações práticas. > Definição: Um espelho esférico é uma seção de uma esfera cuja superfície refletora pode ser côncava ou convexa; seu comportamento óptico é estudado traçando-se raios que incidem sobre sua superfície e aplicando-se a lei da reflexão. ## Principais elementos geométricos - **Centro de curvatura**: $C$, centro da esfera a que o espelho pertence. - **Raio de curvatura**: $R$, distância entre $C$ e qualquer ponto da superfície. - **Vértice**: $V$, ponto da superfície sobre o eixo principal. - **Eixo principal**: reta que une $C$ a $V$ e se prolonga para ambos os lados. - **Foco**: $f$, ponto localizado na metade do raio, ou seja, $f$ está a uma distância $f=\tfrac{R}{2}$ do vértice em espelhos esféricos para aproximações paraxiais. > Definição: Eixo principal é a reta que passa por $C$ e $V$ e é utilizada como referência para localizar objetos e imagens. ## Tipos de imagem formada por espelhos esféricos - **Imagem real**: os raios refletidos realmente convergem em um ponto; a imagem pode ser projetada em uma tela e geralmente está invertida. - **Imagem virtual**: os raios refletidos parecem divergir de um ponto; a imagem não pode ser projetada em uma tela e geralmente é direita (ou ereta) em espelhos convexos. ## Principais raios utilizados no traçado (regras para espelhos côncavos) - Raio que passa pelo centro de curvatura $C$: reflete-se sobre si mesmo (retrorefletido). - Raio paralelo ao eixo principal: após a reflexão, passa pelo foco $f$. - Raio que passa pelo foco $f$: após a reflexão, sai paralelo ao eixo principal. - Raio que incide no vértice $V$: reflete-se seguindo a lei da reflexão, com ângulos iguais. ## Dedução da equação geral dos espelhos esféricos Apresentaremos uma dedução geométrica baseada na semelhança de triângulos e na definição de aumentos. Seja um objeto de altura $h$ localizado sobre o eixo principal a uma distância $s$ do vértice, e sua imagem de altura $h'$ a uma distância $s'$ do vértice. Define-se o aumento lateral $M$ como $$M = \frac{h'}{h}$$ Traçando dois raios principais da cabeça do objeto e usando triângulos semelhantes obtém-se primeiro: $$\tan{\theta} = \frac{h}{s}$$ $$h = s\,\tan{\theta}$$ e para a imagem (considerando a inversão da imagem): $$\tan{\theta} = -\frac{h'}{s'}$$ $$h' = -s'\,\tan{\theta}$$ Substituindo na definição de aumento: $$M = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}$$ Agora, tomando ângulos a partir do centro de curvatura com um ângulo $\alpha$ e aplicando triângulos semelhantes chega-se a: $$h = (s-R)\,\tan{\alpha}$$ $$h' = -(R-s')\,\tan{\alpha}$$ Novamente no aumento: $$M = \frac{h'}{h} = -\frac{R-s'}{s-R}$$ Igualando as duas expressões para $M$ e operando algebricamente obtém-se a equação geral dos espelhos esféricos: $$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R}$$ Esta equação relaciona a distância do objeto $s$, a distância da imagem $s'$ e o raio de curvatura $R$. > Definição: A equação geral dos espelhos esféricos é $\displaystyle\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R}$. Consequência comum: se definirmos a distância focal $f$ como $f=\tfrac{R}{2}$, a equação pode ser escrita na forma mais conhecida $$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$$ ## Sinais e convenções (resumo prático) - Para espelhos côncavos, costuma-se considerar $R>0$ e $f>0$ quando o foco está à frente do espelho; para espelhos convexos, $R<0$ e $f<0$ se for utilizada uma convenção de sinais clássica. - Distância do objeto $s$: positiva se o objeto estiver à frente do espelho (lado de incidência da luz). - Distância da imagem $s'$: positiva se a imagem estiver à frente do espelho (imagem real), negativa se estiver atrás (image