Resumo de Matemática para Economia: Conceitos Fundamentais

## Introdução A continuidade e os tipos de limites são conceitos centrais para compreender o comportamento local das funções. Neste material, revisaremos definições formais, limites laterais, limites infinitos, continuidade em pontos e intervalos e a classificação de descontinuidades, com exemplos e aplicações. ## Conceitos básicos e notação > Definição: Diz-se que a função $f$ tem limite $L$ quando $x$ tende a $c$ se para toda sequência de valores de $x$ diferentes de $c$ que se aproximam de $c$, os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$. Notação: $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$ > Definição: Limite lateral direito e esquerdo > Limite lateral direito: $$\lim_{x \to c^{+}} f(x) = L_{+}$$ > Limite lateral esquerdo: $$\lim_{x \to c^{-}} f(x) = L_{-}$$ Condição de existência do limite: $$\lim_{x \to c} f(x) = L \text{ existe se e somente se } L_{+} = L_{-} = L.$$ ### Propriedades úteis de limites (para relembrar) - Linearidade: $$\lim_{x\to c} [a f(x) + b g(x)] = a\lim_{x\to c} f(x) + b\lim_{x\to c} g(x).$$ - Produto e quociente (se o denominador não tende a $0$): $$\lim_{x\to c} f(x) g(x) = \left(\lim_{x\to c} f(x)\right)\left(\lim_{x\to c} g(x)\right),$$ $$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c} f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}.$$ Curiosidade: Você sabia que, ao avaliar limites de polinômios e funções racionais em pontos onde o denominador não se anula, basta substituir o valor na expressão para obter o limite diretamente? ## Limites laterais: interpretação e exemplos - Se ao nos aproximarmos de $c$ pela direita obtivermos $L_{+}$ e pela esquerda $L_{-}$, comparamos ambos. - Se $L_{+} \neq L_{-}$, então $$\lim_{x \to c} f(x)$$ não existe. Exemplo 1 (limites laterais distintos): Seja $$f(x)=\begin{cases} -\tfrac{1}{4}x^{2}, & x<0,\\ x+3, & x>0. \end{cases}$$ Calculemos os limites quando $x\to 0$: $$\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0,\quad \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=3.$$ Portanto $$\lim_{x\to 0} f(x)\ \text{não existe}.$$ ## Limites infinitos Quando $f(x)$ cresce sem limitação à medida que $x$ se aproxima de $c$, dizemos que o limite é infinito e escrevemos, por exemplo, $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty.$$ Isso indica comportamento ilimitado e não a existência de um limite finito. Exemplo 2 (limite infinito): Para $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$, ao nos aproximarmos de $x=2$: $$\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -\infty,$$ ambos os limites laterais não coincidem em um número real, portanto $$\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{não existe (salto infinito)}.$$ ## Continuidade em um ponto > Definição: Uma função $f$ é contínua em $x=c$ se as três condições a seguir forem satisfeitas: > 1. $f(c)$ está definida. > 2. $\lim_{x\to c} f(x)$ existe. > 3. $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$. Exemplo 3 (função contínua em um ponto): Para $f(x)=2x-1$, em $x=1$: $$f(1)=1,\quad \lim_{x\to 1} (2x-1)=1,$$ logo $f$ é contínua em $x=1$. Exemplo 4 (descontinuidade removível): Considere $$g(x)=\begin{cases} x, & x\neq 1,\\ 2, & x=1. \end{cases}$$ Aqui $$\lim_{x\to 1} g(x)=1\neq g(1)=2,$$ portanto há uma descontinuidade removível em $x=1$ (o limite existe, mas a função não assume esse valor). ## Continuidade em intervalos - Uma função é contínua em um intervalo aberto $(a,b)$ se é contínua em todo ponto interior. - Em um intervalo fechado $[a,b]$ requer-se, além disso, continuidade lateral nos extremos: $$\lim_{x\to a^{+}} f(x)=f(a),\quad \lim_{x\to b^{-}} f(x)=f(b).$$ Exemplo 5: $f(x)=-x^{2}+4$ é contínua em $[-2,2]$ porque é um polinômio (contínuo em todo $\mathbb{R}$) e satisfaz as condições nos extremos. ## Classificação de Descontinuidades Tabela comparativa: | Tipo | Condição | Exemplo | É "removível"? | |---|---:|---|---| | Removível | $\lim_{x\to c} f(x)$ existe, mas $f(c)$ não coincide ou não está definida | Buraco com valor diferente | Sim (definindo ou redefinindo $f(c)$) | | Salto finito | $\lim_{x\to c^{+}} f(x)$ e $\lim_{x\to c^{-}} f(x)$ finitos e distintos | Função por partes com dois valores distintos | Não | | Salto infini