Resumo de Matemática Financeira: Investimentos e Empréstimos
Matemática Financeira: Investimentos e Empréstimos - Guia Completa
Introdução
A amortização é o processo pelo qual um capital emprestado é gradualmente devolvido através de pagamentos periódicos que combinam amortização do principal e juros. Neste material, revisaremos dois sistemas de amortização com exemplos numéricos: o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o sistema de parcelas crescentes, além de conceitos-chave e aplicações práticas.
Definição: A amortização é a redução progressiva do saldo de um crédito através de pagamentos periódicos que incluem a parcela destinada a reduzir o principal e a parcela destinada a pagar juros.
Conceitos básicos detalhados
Saldo inicial e saldo final
- Saldo inicial: capital pendente no início de um período.
- Saldo final: saldo inicial menos a parcela de amortização paga naquele período.
Juros em cada período
- Os juros são calculados sobre o saldo inicial do período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$, onde $S_{t-1}$ é o saldo inicial e $i$ a taxa de juros periódica.
Pagamento total do período
- O pagamento do período é a soma da parcela de amortização e dos juros: $P_t = A_t + I_t$.
Definição: Parcela de amortização é a porção do pagamento que reduz diretamente o capital devido.
Sistema 1: Parcelas de Amortização Fixas
Ideia principal
Neste sistema, a parcela de amortização $A$ é fixa em todos os períodos; portanto, os juros diminuem à medida que o saldo diminui e os pagamentos totais $P_t$ diminuem com o tempo.
Procedimento
- Determinar a parcela fixa de amortização: $A = \dfrac{C_0}{n}$, onde $C_0$ é o capital inicial e $n$ o número de períodos.
- Calcular o juro do período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$.
- Pagamento do período: $P_t = A + I_t$.
- Saldo final: $S_t = S_{t-1} - A$.
Exemplo prático
Dados: $C_0 = 60000$, $i = 0{,}13$, $n = 10$.
- Parcela fixa: $A = \dfrac{60000}{10} = 6000$.
- Primeiro período: $I_1 = 60000\cdot 0{,}13 = 7800$, $P_1 = 6000 + 7800 = 13800$, $S_1 = 60000 - 6000 = 54000$.
- Segundo período: $I_2 = 54000\cdot 0{,}13 = 7020$, $P_2 = 6000 + 7020 = 13020$, $S_2 = 48000$.
A tabela resultante (resumida) mostra como $A$ se mantém em $6000$, os juros diminuem e os pagamentos totais decrescem progressivamente até que $S_{10} = 0$.
| Ano | Saldo Inicial | Juro | Amortização | Pagamento | Saldo Final |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | $60000$ | - | - | - | $60000$ |
| 1 | $60000$ | $7800$ | $6000$ | $13800$ | $54000$ |
| 2 | $54000$ | $7020$ | $6000$ | $13020$ | $48000$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 10 | $6000$ | $780$ | $6000$ | $6780$ | $0$ |
Você sabia que neste sistema o primeiro pagamento é o mais alto porque os juros são calculados sobre o maior saldo inicial?
Sistema 2: Prestações Crescentes (Amortização Proporcional)
Ideia principal
As prestações de amortização aumentam de forma proporcional a fatores que dependem da posição do período. Isso faz com que os pagamentos totais aumentem inicialmente até se estabilizarem de acordo com a estrutura.
Fatores de capitalização
Definem-se os fatores $F_k = \dfrac{k}{\sum_{j=1}^{n} j}$ para $k=1,2,\dots,n$, onde $\sum_{j=1}^{n} j = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Definição: Fator de capitalização $F_k$ é a fração que determina qual porção do capital inicial é amortizada no período $k$ no sistema de prestações crescentes.
Prestação de amortização no período $k$
- $A_k = F_k \cdot C_0$.
- Juros: $I_k = S_{k-1}\cdot i$.
- Pagamento: $P_k = A_k + I_k$.
- Saldo final: $S_k = S_{k-1} - A_k$.
Exemplo prático
Dados: $C_0 = 60000$, $i = 0{,}13$, $n = 10$.
- Soma dos índices: $\sum_{j=1}^{10} j = 55$.
- Fatores: $F_1 = \dfrac{1}{55}$, $F_2 = \dfrac{2}{55}$, ..., $F_{10} = \dfrac{10}{55}$.
- Amortização do primeiro ano: $A_1 = \dfrac{1}{55}\cdot 60000 = 1091{,} \text{(aprox.)}$.
- Juros do primeiro ano: $I_1 = 60000\cdot 0{,}13 = 7800$.
- Pagamento do primeiro ano: $P_1 = 1091 + 7800 = 8891$, saldo final $S_1 = 60000 - 1091 = 58909$.
- Segundo ano: $A_2 = \dfrac{2}{55}\cdot 60000 = 2182$, $I_2 = 58909\c
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Amortização: Sistemas e Exemplos
Klíčové pojmy: Amortización reduce el capital mediante pagos periódicos, Interés en el período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$, Pago total: $P_t = A_t + I_t$, Cuotas fijas: $A = \dfrac{C_0}{n}$, pagos totales decrecientes, Cuotas crecientes: $A_k = \dfrac{k}{\sum_{j=1}^n j}\cdot C_0$, Saldo final: $S_t = S_{t-1} - A_t$, Intereses siempre sobre saldo inicial del período, Elegir sistema según perfil de ingresos del deudor