Resumo de Hipóteses de Falha de Materiais
Hipótese de Falha de Materiais: Guia para Estudantes
Introdução
A unidade aborda as principais hipóteses de falha de materiais sob estados combinados de tensões. Analisa-se como decidir se um material falha segundo diferentes critérios (Rankine, Tresca-Guest, Huber–von Mises–Hencky, e a teoria de Mohr), como calcular tensões principais e tensões equivalentes, e aplicações práticas em projeto e análise estrutural.
Definição: Uma hipótese de falha é uma regra que relaciona o estado de tensões em um ponto com a resistência última ou admissível do material para prever a falha.
Conceitos Introdutórios
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Para um elemento plano, as tensões em coordenadas cartesianas são $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$. Devemos obter as tensões principais $\sigma_1$, $\sigma_2$ e a tensão de cisalhamento máxima $\tau_{max}$.
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Fórmula para as tensões principais em 2D: $$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
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Tensão de cisalhamento máxima: $$\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
Definição: Tensão de comparação $\sigma_{comp}$ é uma combinação escalar de componentes de tensão utilizada por cada hipótese para comparação com a resistência do material.
Exemplo Prático Rápido
Suponha um aço com limite de escoamento $\sigma_f = 2400\ \text{Kg/cm}^2$ e um estado de tensões: $\sigma_x = 2000\ \text{Kg/cm}^2$, $\sigma_y = 1700\ \text{Kg/cm}^2$, $\tau_{xy} = 1100\ \text{Kg/cm}^2$. Calcule $\sigma_1$: $$\sigma_1 = \frac{2000 + 1700}{2} + \sqrt{\left(\frac{2000 - 1700}{2}\right)^2 + 1100^2}$$ Substituindo, obtém-se $\sigma_1 \approx 2960\ \text{Kg/cm}^2$, maior que $\sigma_f$, portanto, em critérios baseados em $\sigma_1$, ocorre falha.
Hipótese de Rankine (tensão principal normal máxima)
- Aplicável a materiais frágeis ou quase-frágeis (ferro fundido, concreto à tração, cerâmicos).
- Condição de ruptura: ocorre ruptura se a tensão principal máxima atingir a resistência à tração $\sigma_f$ ou se a tensão principal mínima atingir a resistência à compressão $\sigma'_f$.
Condição geral: $$|\sigma_{1,2}| \leq \sigma_f$$
- Para estados simples, duplos ou triplos, consideram-se os valores correspondentes de $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$.
Tabela comparativa (Rankine):
| Estado | Condição de ruptura |
|---|---|
| Tração simples | $\sigma_1 = \sigma_f$ |
| Compressão simples | $\sigma_3 = -\sigma_f'$ |
| Cisalhamento puro | $\tau_{rot} = \sigma_f$ (segundo Rankine) |
Hipótese de Tresca-Guest (tensão de cisalhamento máxima)
- Mais apropriada para materiais muito dúcteis (aço doce).
- Condição de ruptura: a falha ocorre quando a tensão de cisalhamento máxima atinge a tensão de cisalhamento máxima observada em ensaio simples.
Para estado triaxial: $$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$
Para estado biaxial (conforme os casos):
- Caso A (0 \leq $\sigma_2$ \leq $\sigma_1$): $\tau_{max} = \dfrac{\sigma_{1D}}{2}$
- Caso B ($\sigma_2 \leq 0 \leq \sigma_1$): $\tau_{max} = \dfrac{\sigma_{1D}-\sigma_{2D}}{2}$
- Caso C ($\sigma_2 \leq \sigma_1 \leq 0$): $\tau_{max} = -\dfrac{\sigma_{2D}}{2}$
Condição de ruptura resumida: $$\max\left(\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2},\frac{|\sigma_1-\sigma_3|}{2},\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2}\right) = \tau_{rot}$$
Tabela comparativa: Tresca vs. Rankine
| Critério | Tipo de material | Medida de comparação |
|---|---|---|
| Rankine | Frágil/quase frágil | $\sigma_{1}$ ou $\sigma_{3}$ |
| Tresca | Muito dúctil | $\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$ |
Hipótese de Huber - von Mises - Hencky (energia de distorção)
- Válida para materiais muito dúcteis.
- Premissa: a ruptura ocorre quando o trabalho interno específico de distorção atinge o valor correspondente em um ensaio simples.
Trabalho interno de distorção (3D geral): $$T_I^* = \frac{1}{12G}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_1-\sigma_3)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2\right]$$
Condição de ruptura em ensaio simples (com $\sigma_1=\sigma_f$, $\sigma_2=\sigma_3=0$): $$T_I^* = \frac{1
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Hipótese de Ruptura
Klíčové pojmy: Calcular tensiones principales con $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$, Rankine: falla si $|\sigma_{1}|\geq\sigma_f$ o $|\sigma_{3}|\geq\sigma_f'$ (materiales frágiles), Tresca: falla si $\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$ alcanza $\tau_{rot}$ (materiales dúctiles), Von Mises: usar $\sigma_{comp}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}$ y comparar con $\sigma_f$, Mohr-Coulomb: condición $|\tau|\le c-\sigma\tan\phi$ para deslizamiento y orientación de planos $\theta=45^\circ\pm\dfrac{\phi}{2}$, Para materiales cohesivos ($\phi=0$) se obtiene $\sigma_1-\sigma_3=2c$, Comparar siempre múltiples criterios cuando la naturaleza del material no es evidente, En corte simple, von Mises indica $\tau_{rot}=\dfrac{\sigma_f}{\sqrt{3}}$, La CRI es la envolvente $\tau(\sigma)$ que puede aproximarse por rectas para hormigón, Elegir el criterio apropiado evita sobredimensionamiento y fallos prematuros