Resumo de Estado de Tensão Bidimensional
Estado de Tensão Bidimensional: Análise Completa para Estudantes
Introdução
A Resistência dos Materiais estuda como os corpos respondem quando submetidos a forças e como tensões, deformações e energia interna se relacionam.
Neste material, focaremos em conceitos relacionados às linhas isostáticas, às trajetórias das tensões principais em um estado tridimensional, ao Círculo de Mohr como ferramenta para visualizar estados planos dentro de um estado espacial, e na deformação volumétrica e no trabalho interno específico de deformação.
Serão explicadas noções chave, exemplos práticos e aplicações reais, evitando o tratamento elementar de álgebra e a exposição geral sobre tensões que é abordada em outros módulos.
1. Direções principais em um estado tridimensional
O que são as direções principais?
As direções principais são três direções ortogonais em um ponto de um corpo submetido a um estado de tensão tridimensional onde as componentes tangenciais que atuariam sobre os planos normais a essas direções são nulas.
- Em cada ponto existe um trio de direções ortogonais chamadas direções principais.
- Nos planos normais a essas direções as componentes tangenciais se anulam.
- As normais a esses planos apresentam apenas componentes normais (não tangenciais).
Ordem e significado das tensões principais
- Denotaremos as tensões normais nessas direções como $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ com a ordem usual: $\sigma_1$ é a máxima em valor (maior efeito de tração), $\sigma_3$ é a mínima (maior compressão) e $\sigma_2$ é intermediária.
- A maior tensão tangencial local ocorre em planos que bissectam os planos de $\sigma_1$ e $\sigma_3$, ou seja, a $45^{\circ}$ entre ambas as direções principais.
Você sabia que em um estado tridimensional sempre existem três direções perpendiculares entre si nas quais as componentes de cisalhamento sobre os planos desaparecem e restam apenas componentes normais?
2. Relação entre estado bidimensional e tridimensional
Estado plano como caso particular
- Ao estudar um plano, consideram-se apenas os planos normais paralelos ao eixo que está fora do desenho (por exemplo, paralelos a $z$). No entanto, no espaço existem infinitos planos oblíquos que modificam a resposta local.
- Uma das tensões principais do estado tridimensional é a componente sobre o eixo fora do plano bidimensional, por exemplo $\sigma_z$.
No caso plano, chamaremos $\sigma_1^{D}$ e $\sigma_2^{D}$ às tensões principais que surgem ao considerar apenas o plano 2D; estas podem corresponder à tração ou compressão dependendo do estado real 3D.
Círculo de Mohr ampliado (visão espacial)
- Em 2D, o estado é representado por uma circunferência de Mohr. Ao incorporar a terceira tensão principal, surgem outras circunferências que representam combinações com $\sigma_z$, e os valores máximos de cisalhamento locais podem aumentar.
- O valor máximo de esforço cisalhante no ambiente tridimensional pode ser maior por ocorrer em planos oblíquos; esse máximo ocorre em um plano a $45^{\circ}$ entre a maior e a menor tensão principal correspondente.
Tabela comparativa: estado 2D vs estado 3D
| Característica | Estado 2D | Estado 3D |
|---|---|---|
| Tensões principais consideradas | $\sigma_1^{D}$, $\sigma_2^{D}$ | $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ |
| Planos possíveis | Planos perpendiculares ao eixo fora do desenho | Infinitos planos, incluindo oblíquos |
| Máximo esforço cisalhante | Dado pela circunferência de Mohr 2D | Pode ser maior; surge em planos oblíquos |
Curiosidade: Em materiais heterogêneos, a orientação das direções principais pode variar de ponto a ponto formando trajetórias que refletem o histórico de cargas e propriedades locais.
3. Casos típicos ao comparar $\sigma_1^{D}$ e $\sigma_2^{D}$
- Primeiro caso: $\sigma_1^{D}$ e $\sigma_2^{D}$ ambas de tração.
- Segundo caso: $\sigma_1^{D}$ de tração e $\sigma_2^{D}$ de compressão.
- Terceiro caso: $\sigma_1^{D}$ e $\sigma_2^{D}$ ambas de compressão.
Cada caso modifica onde aparece o cisalhamento máximo e como se distribu
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Isostáticas e Deformação Volumétrica
Klíčové pojmy: Direções principais: três direções ortogonais sem componentes tangenciais, Ordem das tensões principais: $\sigma_1$ máxima, $\sigma_2$ intermediária, $\sigma_3$ mínima, Máxima tensão de cisalhamento local ocorre em planos a $45^{\circ}$ entre $\sigma_1$ e $\sigma_3$, Estado 2D é um caso particular do 3D; incluir $\sigma_z$ pode alterar os máximos de cisalhamento, Deformação volumétrica para pequenas deformações: $e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z$, Para um estado isotrópico uniforme, $e$ é proporcional a $3\sigma(1-2\mu)/E$, Trabalho interno específico: $T^{*}=\tfrac{1}{2}(\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z)+\tfrac{1}{2}G(\gamma_{xy}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{yz}^2)$, Relação entre deformações e tensões: $\varepsilon_x=\dfrac{1}{E}(\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z))$, Separação energética em dilatação e distorção, Aplicações: fundações, componentes mecânicos, geotecnia