Resumo de Equações Diferenciais: Coeficientes Indeterminados

## Introdução As equações diferenciais lineares são ferramentas fundamentais para modelar fenômenos em física, engenharia, economia e outras áreas. Neste guia, veremos como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes de ordem $n$ e como obter soluções particulares para equações não homogêneas usando o método de coeficientes indeterminados e a abordagem de superposição. > Definição: Uma equação diferencial linear de ordem $n$ com coeficientes constantes tem a forma > $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x),$$ > onde $a_i$ são constantes e $g(x)$ é a função não homogênea. ## 1. Equação Homogênea Associada ### Passo Básico Dada a equação $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x),$$ a equação homogênea associada é $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0.$$ Para resolvê-la, forma-se a equação característica: $$a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0.$$ ### Raízes e Soluções Linearmente Independentes - Se $r$ é uma raiz real simples, ela contribui com $e^{rx}$. - Se $r = \alpha \pm i\beta$ (complexa), ela contribui com $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ e $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$. - Se $r$ tem multiplicidade $m$, as soluções associadas incluem fatores $x^k e^{rx}$ para $k=0,1,\dots,m-1$. > Definição: A solução geral da homogênea $y_c(x)$ é a combinação linear de todas as soluções linearmente independentes obtidas das raízes da equação característica. ### Tabela Comparativa: Tipo de Raiz vs. Termo em $y_c$ | Tipo de Raiz | Raiz (r) | Termos em $y_c$ | |---|---:|---| | Real simples | $r$ | $e^{rx}$ | | Real com multiplicidade $m$ | $r$ | $e^{rx},\; x e^{rx},\; \dots,\; x^{m-1} e^{rx}$ | | Complexa $\alpha\pm i\beta$ | $\alpha\pm i\beta$ | $e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | | Complexa com multiplicidade $m$ | $\alpha\pm i\beta$ | $x^k e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; x^k e^{\alpha x}\sin(\beta x)$, $k=0,\dots,m-1$ | ## 2. Método dos Coeficientes Indeterminados (abordagem de superposição) Este método é utilizado para encontrar uma solução particular $y_p(x)$ quando $g(x)$ pertence a uma classe de funções: polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou combinações destas. > Definição: O método dos coeficientes indeterminados propõe uma forma para $y_p(x)$ com coeficientes desconhecidos, substitui-se na equação e os coeficientes são determinados igualando os termos. ### Passos Gerais 1. Obter $y_c(x)$ resolvendo a equação homogênea. 2. Propor uma forma para $y_p(x)$ baseada em $g(x)$. 3. Se alguma função proposta já aparece em $y_c(x)$, multiplicar a proposta pela menor potência de $x$ necessária (por exemplo, $x$, $x^2$, ...) até que não haja duplicidade. 4. Substituir $y_p$ na equação e determinar os coeficientes comparando os termos. 5. A solução geral é $y(x) = y_c(x) + y_p(x)$. ### Casos Típicos para Propor $y_p(x)$ - Se $g(x)$ é um polinômio de grau $n$: propor um polinômio de grau $n$ com coeficientes indeterminados. - Se $g(x)=e^{ax}P(x)$ onde $P(x)$ é um polinômio: propor $e^{ax}$ multiplicado por um polinômio da mesma forma. - Se $g(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ ou $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$: propor $e^{\alpha x}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$. ### Caso Especial: Superposição por Coincidência com $y_c$ - Se a forma proposta para $y_p$ compartilha funções com $y_c$, multiplicar por $x^s$ onde $s$ é a multiplicidade mínima que anula a coincidência. > Exemplo Conceitual: Se $y_c$ contém $\cos x$ e $\sin x$ e $g(x)=\sin x$, a proposta $A\sin x + B\cos x$ deve ser multiplicada por $x$, ou seja, $y_p = x(A\sin x + B\cos x)$. ## 3. Exemplo Resolvido (resumo do procedimento) Problema: Resolver $$y'' + y = \sin x.$$ 1) Equação homogênea associada: $$y'' + y = 0.$$ Equação característica $$r^2 + 1 = 0$$ com raízes $r=\pm i$. Portanto $$y_c = C_1 \cos x + C_2 \sin x.$$ 2) Proposta inicial para $y_p$ pela forma de $g(x)=\sin x$ seria $A\sin x + B\cos x$, mas essas funções já estão em $y_c$