Resumo de Comportamento da Empresa e Maximização de Lucros
Comportamento da Empresa e Maximização de Lucros
Introdução
A maximização do lucro estuda como escolher preço ($P$) e quantidade ($Q$) para obter o maior lucro possível, dada uma restrição de demanda e uma estrutura de custos. Aqui veremos conceitos-chave (isobenefícios, receita marginal, custo marginal), métodos gráficos e algébricos para encontrar o ponto ótimo e exemplos práticos.
Definição: Uma curva de isobenefício mostra todas as combinações de preço e quantidade que geram o mesmo lucro $B$.
Conceitos Básicos
Lucro Total
O lucro total é definido como a diferença entre receitas e custos. Se o preço por unidade é $p$ e o custo médio por unidade é $c(Q)$, então o lucro por unidade é $p - c(Q)$ e o lucro total é $$B = \left(p - c(Q)\right)\cdot Q.$$
Curva de Isoprofito
- Cada curva de isoprofito representa um nível fixo de lucro $B_0$.
- Para um dado $B_0$, isolando $p$ obtemos: $$p = \frac{B_0}{Q} + c(Q).$$
- Assim, para cada $Q$ podemos calcular o $p$ que mantém $B_0$.
Definição: Uma curva de demanda define a fronteira factível: somente são possíveis as combinações $(p,Q)$ sobre ou abaixo da curva de demanda.
Receita Marginal (RM) e Custo Marginal (CMg)
- A receita marginal é o aumento da receita total ao vender uma unidade adicional. Se $R(Q)$ é a receita total, $RM = R'(Q)$.
- O custo marginal é o aumento do custo total ao produzir uma unidade adicional. Se $C(Q)$ é o custo total, $CMg = C'(Q)$.
Definição: O ponto que maximiza o lucro é encontrado onde $RM = CMg$ (se a condição de segunda derivada apropriada para máximo for satisfeita).
Método gráfico: curvas de isobenefício e demanda
- Desenhe a curva de demanda (fronteira factível).
- Trace curvas de isobenefício de diferentes níveis (como curvas de indiferença).
- O ponto de tangência entre a curva de demanda e a curva de isobenefício mais alta possível é a solução ótima.
Curiosidade: Você sabia que a ideia de isobenefícios é análoga às curvas de indiferença em microeconomia, onde se substitui utilidade por benefício e restrições pela curva de demanda?
Exemplo prático (resumo do conteúdo fornecido)
- Ponto G: $Q=23$, $p=6820$, custo médio $=3777$. Lucro unitário $=6820-3777=3043$. Lucro total $=3043\cdot 23=70,000$ (curva de isoprofito de 70.000).
- Ponto K: outra combinação $(p,Q)$ sobre a mesma curva, também gera $70,000$.
Restrição da demanda e escolha ótima
- Apenas são factíveis as combinações na ou abaixo da curva de demanda.
- O ponto ótimo E é a tangência onde se atinge o isoprofito mais alto dentro do conjunto factível.
- Exemplo numérico: $P^* = 5440$, $Q^* = 32$, lucro $=63,360$.
Cálculo algébrico de uma isobenefício
Suponhamos uma função de custos médios constante $c(Q)=2$ e lucro-alvo $B_0=60.000$. A função de lucro é $$B = (p - 2)\cdot Q.$$ Para $Q=8.000$ e $B=60.000$: $$60.000 = (p - 2)\cdot 8.000.$$ Isolando $p$: $$p = \frac{B}{Q} + 2$$ $$p = \frac{60.000}{8.000} + 2 = 7,5 + 2 = 9,5.$$ Para $Q=16.000$: $$p = \frac{60.000}{16.000} + 2 = 3,75 + 2 = 5,75.$$
Tabela: preços necessários para diferentes níveis de lucro e quantidades
| Lucro $B$ | $Q$ | Fórmula $p = \frac{B}{Q} + 2$ | Preço $p$ |
|---|---|---|---|
| $60.000$ | $8.000$ | $\frac{60.000}{8.000}+2$ | $9,5$ |
| $60.000$ | $16.000$ | $\frac{60.000}{16.000}+2$ | $5,75$ |
| $34.000$ | $8.000$ | $\frac{34.000}{8.000}+2$ | $6,25$ |
| $23.000$ | $8.000$ | $\frac{23.000}{8.000}+2$ | $4,875$ |
Comportamento da Receita Marginal
- Quando $p$ é alto e $Q$ é baixo, a $RM$ geralmente é alta.
- Ao descer pela curva de demanda, $p$ cai e a receita do último bem vendido diminui; além disso, a perda nos bens anteriores aumenta, portanto, a $RM$ cai e pode se tornar negativa.
Procedimento para maximizar o lucro (passos práticos)
- Obtenha a curva de demanda $p(Q)$ ou a relação preço-quantidade viável.
- Calcule a receita total $R(Q)=p(Q)\cdot Q$ e a receita marginal $RM = R'(Q)$.
- Determine o custo total $C(Q)$ e o custo marginal $CMg=C'(Q)$.
- Resolva $R
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Maximização do lucro
Klíčové pojmy: Lucro total: $B=(p-c(Q))\cdot Q$, Isolucro: $p=\frac{B}{Q}+c(Q)$ para um $B$ dado, Região factível: combinações na ou abaixo da curva de demanda, Ponto ótimo: tangência entre demanda e isolucro, Condição algébrica: $IM=CMg$, Receita marginal com demanda linear: $IM=a-2bQ$ se $p=a-bQ$, Procedimento passo a passo para encontrar $Q^*$ e $p^*$, Verificar a segunda condição para garantir o máximo, Exemplo prático: $p=\frac{60\,000}{8\,000}+2=9.5$, Comportamento: $IM$ diminui ao aumentar $Q$ e pode se tornar negativo, Tabela de preços mostra como $p$ diminui ao aumentar $Q$ para o mesmo lucro, Tangência implica igualdade de inclinações (RMT = RMS)