Teste sobre Como reconhecer o gráfico da derivada a partir do gráfico de uma função

Pergunta 1: Em pontos de máximo ou mínimo local de uma função diferenciável, a derivada f'(x) é igual a zero.

A. Sim

B. Não

Explicação: De acordo com os materiais de estudo, em pontos onde a função f(x) atinge um máximo ou mínimo local (e é diferenciável), a reta tangente é horizontal, o que significa que sua inclinação é zero. Nesses pontos, o gráfico da derivada f'(x) cruza o eixo x, indicando que f'(x) = 0. Estes são os pontos críticos da função.

Pergunta 2: De acordo com o material de estudo, ao analisar o gráfico de uma função f(x) como um 'mapa de inclinações' para inferir o comportamento de sua derivada f'(x), quais das seguintes afirmações são corretas?

A. Se f(x) está crescendo em um intervalo, então o gráfico de f'(x) estará abaixo do eixo x nesse intervalo.

B. Em pontos onde f(x) atinge um máximo ou mínimo local (e é diferenciável), o gráfico de f'(x) cruza o eixo x.

C. Se f(x) está côncava para cima em um intervalo, isso implica que a derivada f'(x) está crescendo nesse intervalo.

D. Quando f(x) está decrescendo em um intervalo, as retas tangentes a f(x) têm inclinação positiva, e f'(x) estará acima do eixo x.

Explicação: A opção 0 está incorreta porque, se a função f(x) está crescendo, as retas tangentes têm inclinação positiva, e f'(x) estará acima do eixo x (f'(x) > 0). A opção 1 está correta, pois em máximos ou mínimos locais, a reta tangente é horizontal, e f'(x) = 0, o que significa que o gráfico de f'(x) cruza o eixo x. A opção 2 está correta, pois se f(x) é côncava para cima, as inclinações das retas tangentes estão aumentando, o que implica que f'(x) está crescendo nesse intervalo. A opção 3 está incorreta porque, se f(x) está decrescendo, as retas tangentes têm inclinação negativa, e f'(x) estará abaixo do eixo x (f'(x) < 0).

Pergunta 3: A derivada da função f(x) = cos(x) é -sen(x).

A. Sim

B. Não

Explicação: Os materiais de estudo fornecidos apenas mencionam que a derivada de f(x) = sen(x) é f'(x) = cos(x). Não há informações sobre a derivada de f(x) = cos(x).

Pergunta 4: Um zero da derivada de uma função f(x) sempre indica um ponto de máximo ou mínimo local exclusivo dessa função.

A. Sim

B. Não

Explicação: Embora os pontos de máximo e mínimo local de f(x) ocorram onde f'(x) = 0, a função f(x) = x³ apresenta f'(x) = 3x² = 0 em x = 0. Neste ponto, f(x) = x³ não tem um máximo nem um mínimo local, mas sim um ponto de inflexão horizontal. Portanto, um zero da derivada não indica 'sempre' e 'exclusivamente' um máximo ou mínimo local.

Pergunta 5: De acordo com o material de estudo, qual das afirmações abaixo descreve corretamente a relação entre uma função quadrática f(x) e sua derivada f'(x)?

A. O gráfico de f'(x) é sempre uma parábola.

B. Se f(x) = x², então f'(x) = 2x, cujo gráfico é uma linha reta que passa pela origem.

C. Em um ponto de mínimo de f(x), sua derivada f'(x) é negativa.

D. A derivada de uma função quadrática é sempre uma função constante.

Explicação: O material de estudo afirma explicitamente que para f(x) = x², sua derivada é f'(x) = 2x, e que 'O gráfico de f'(x) = 2x é uma linha reta que passa pela origem'. A primeira opção está incorreta, pois o material indica que a derivada de uma função quadrática é uma função linear (uma linha reta), não uma parábola. A terceira opção está incorreta, pois em um ponto de mínimo de f(x), a derivada f'(x) é igual a zero, conforme o material descreve para x=0 em f(x)=x². A quarta opção está incorreta, pois a derivada de uma função quadrática é uma função linear, e não uma função constante; funções constantes são derivadas de funções lineares.