Teste sobre A derivada como um limite

Pergunta 1: A reta tangente a uma curva em um ponto é obtida calculando a taxa de variação média da função para um intervalo fixo e não nulo de h.

A. Sim

B. Não

Explicação: A reta tangente é uma posição limite da reta secante quando o intervalo h tende a zero, representando a taxa de variação instantânea. O quociente de diferenças para um h fixo e não nulo define a inclinação da reta secante, que representa a taxa de variação média, não a reta tangente.

Pergunta 2: A notação f(x)' é uma das notações comuns para a derivada de uma função.

A. Sim

B. Não

Explicação: Os materiais de estudo listam f'(x), dy/dx, d/dx f(x) e y' como notações comuns para a derivada. A notação f(x)' não é mencionada entre as notações comuns apresentadas.

Pergunta 3: De acordo com os materiais de estudo, qual é a condição necessária para que a derivada de uma função, f'(x₀), exista em um ponto específico x₀?

A. A derivada pela direita deve ser maior que a derivada pela esquerda.

B. As derivadas laterais f'⁺(x₀) e f'⁻(x₀) devem existir e ser iguais.

C. A função deve ser contínua em x₀, independentemente das derivadas laterais.

D. A derivada pela esquerda deve ser diferente da derivada pela direita.

Explicação: Para que a derivada f'(x₀) exista, os materiais de estudo afirmam que é necessário que as derivadas laterais, a derivada pela direita (f'⁺(x₀)) e a derivada pela esquerda (f'⁻(x₀)), existam e sejam iguais entre si. Se elas forem diferentes ou se uma delas não existir, a função não é diferenciável nesse ponto.

Pergunta 4: Ao aplicar a definição da derivada por limite para a função f(x) = x², qual é a expressão do quociente de diferenças após a substituição de f(x + h) e f(x), mas antes da expansão e simplificação do numerador?

A. [(x + h) - x] / h

B. [(x + h)² - x²] / h

C. [x² + h² - x²] / h

D. [f(x + h) + f(x)] / h

Explicação: A definição da derivada por limite envolve o quociente de diferenças: (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Para a função f(x) = x², f(x + h) torna-se (x + h)² e f(x) permanece x². Assim, a substituição resulta em [(x + h)² − x²] / h. As outras opções representam substituições incorretas da função ou uma fórmula errada para o quociente de diferenças.

Pergunta 5: A função f(x) = |x| em x = 0 é um exemplo de uma função contínua que não é diferenciável nesse ponto.

A. Sim

B. Não

Explicação: Os materiais de estudo afirmam explicitamente que 'uma função pode ser contínua em um ponto, mas não diferenciável (ex: f(x) = |x| em x = 0, onde há um "bico")'.