Test z Wektor i jego współrzędne

Pytanie 1: W przestrzeni trójwymiarowej, jeśli punkt początkowy wektora $\vec{AB}$ to A = (x₁, y₁, z₁) i punkt końcowy to B = (x₂, y₂, z₂), to współrzędne tego wektora są obliczane jako [x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂].

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami, współrzędne wektora $\vec{AB}$ w przestrzeni trójwymiarowej oblicza się, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego: $\vec{AB} = [x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁]$. Podana w pytaniu kolejność odejmowania jest odwrotna.

Pytanie 2: Długość wektora $\vec{v}$ o współrzędnych [v₁, v₂, v₃] w przestrzeni trójwymiarowej oblicza się, sumując bezwzględne wartości jego współrzędnych: |v₁| + |v₂| + |v₃|.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Długość wektora w przestrzeni trójwymiarowej oblicza się za pomocą wzoru $|\vec{v}| = \sqrt{v₁² + v₂² + v₃²}$, a nie poprzez sumowanie wartości bezwzględnych jego współrzędnych. Długość wektora jest zawsze wartością nieujemną, a jej obliczanie bazuje na uogólnionym twierdzeniu Pitagorasa.

Pytanie 3: Dane są dwa punkty na płaszczyźnie: P = (-3, 7) i Q = (5, 1). Jakie są współrzędne wektora $\vec{PQ}$?

A. [2, 8]

B. [-8, 6]

C. [8, -6]

D. [-2, -8]

Wyjaśnienie: Współrzędne wektora $\vec{AB}$ oblicza się, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego, zgodnie ze wzorem $\vec{AB} = [x₂ - x₁, y₂ - y₁]$. Dla punktów P = (-3, 7) (czyli $x_1 = -3, y_1 = 7$) i Q = (5, 1) (czyli $x_2 = 5, y_2 = 1$): Współrzędna x wektora $\vec{PQ}$: $x_Q - x_P = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Współrzędna y wektora $\vec{PQ}$: $y_Q - y_P = 1 - 7 = -6$. Zatem wektor $\vec{PQ}$ ma współrzędne [8, -6].

Pytanie 4: Które z poniższych stwierdzeń poprawnie opisują właściwości wektora przeciwnego do danego wektora $\vec{v}$?

A. Wektor przeciwny do $\vec{v}$ ma tę samą długość co $\vec{v}$.

B. Wektor przeciwny do $\vec{v}$ ma ten sam kierunek i zwrot co $\vec{v}$, ale inną długość.

C. Jeśli wektor $\vec{v} = [v_1, v_2, v_3]$, to wektor przeciwny $-\vec{v}$ ma współrzędne $[ -v_1, -v_2, -v_3 ]$.

D. Suma wektora $\vec{v}$ i jego wektora przeciwnego zawsze daje wektor jednostkowy.

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami, wektor przeciwny ma tę samą długość co oryginalny wektor, ale przeciwny zwrot. Jeśli wektor $\vec{v} = [v_1, v_2, v_3]$, to wektor przeciwny $-\vec{v}$ ma współrzędne $[ -v_1, -v_2, -v_3 ]$. Suma wektora i jego wektora przeciwnego zawsze daje wektor zerowy, a nie jednostkowy.

Pytanie 5: W symulacji, gdy punkt końcowy wektora zostanie przeciągnięty na dokładnie przeciwną stronę punktu początkowego, zachowując tę samą odległość, jego współrzędne będą miały przeciwne znaki.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami, przeciągnięcie punktu końcowego wektora na dokładnie przeciwną stronę punktu początkowego, zachowując tę samą odległość, pozwoli zaobserwować wektor przeciwny, którego współrzędne będą miały przeciwne znaki.